Dipolo Elétrico Transiente

Objetivo

Aqui, fornecemos uma descrição física do dipolo de corrente elétrica dependente do tempo. Isso é usado para desenvolver uma expressão matemática que pode ser usada para substituir o termo de fonte elétrica nas equações de Maxwell. Em seguida, consideramos um dipolo de corrente elétrica transiente; que representa uma fonte geofísica mais comumente usada.

Definição Geral

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Figura 67 Represntação física da fonte dipolo de corrente elétrica dependente do tempo.

O dipolo de corrente elétrica dependente do tempo pode ser pensado como um comprimento infinitesimal de fio que carrega uma corrente dependente do tempo. A força da fonte é, portanto, definida por um momento de dipolo dependente do tempo \(\mathbf{p}(t)\). Para um dipolo de corrente dependente do tempo definido por comprimento \(ds\) e vetor de corrente \(\mathbf{I}(t)\), o momento de dipolo é dado por:

\[\mathbf{p}(t) = \mathbf{I}(t) ds\]

Como um resultado, o termo fonte para o dipolo de corrente elétrica dependente do tempo é dado por:

\[\mathbf{j_e^s} = \mathbf{I}(t) ds \, \delta (x) \delta (y) \delta (z)\]

onde \(\delta (x)\) é a função delta de Dirac. Incluindo o termo fonte, as equações de Maxwel no domínio do tempo são dadas por:

\[\begin{split}\begin{split} &\nabla \times \mathbf{e_e} + \mu \dfrac{\partial \mathbf{h_e} }{\partial t} = 0 \\ \nabla \times \mathbf{h_e} - \sigma \mathbf{e_e} & - \varepsilon \dfrac{\partial \mathbf{e_e} }{\partial t} = \mathbf{I}(t)ds \, \delta(x) \delta(y) \delta(z) \end{split}\end{split}\]

onde o subescrito \(_e\) lembra-nos que estamos considerando uma fonte elétrica. A fonte de corrente é responsável por gerar uma densidade de corrente primária (e, portanto, um campo elétrico) na região circundante (Figura 67). A equação de Ampere-Maxwell afirma que os campos elétricos variáveis no tempo e o movimento da corrente livre geram campos magnéticos. Além disso, a natureza dependente do tempo desses campos magnéticos deve produzir campos elétricos secundários de acordo com lei de Faraday.

Transiente do dipolo de corrente elétrica

A resposta transitória representa a resposta de um sistema à excitação ao desligamento da função degrau. Para o transiente do dipolo de corrente elétrica com comprimento infinitesimal \(ds\), a resposta eletromagnética resulta do desligamento de uma corrente da forma \(\mathbf{I}(t) = \mathbf{I}u(-t)\). Assim, o momento de dipolo é dado por:

\[\mathbf{p}(t) = \mathbf{I}u(-t) ds\]

onde \(u(t)\) é a função degrau unitária.

O termo fonte para o dipolo de corrente elétrica correspondente é dado por:

\[\mathbf{j_e^s} = \mathbf{I}u(-t) ds \, \delta (x) \delta (y) \delta (z)\]

onde \(\delta (x)\) é a função delta de Dirac.

Ao incluir o termo fonte, as equações de Maxwell no domínio do tempo são dadas por:

\[\begin{split}\begin{split} &\nabla \times \mathbf{e_e} + \mu \dfrac{\partial \mathbf{h_e} }{\partial t} = 0 \\ \nabla \times \mathbf{h_e} - \sigma \mathbf{e_e} & - \varepsilon \dfrac{\partial \mathbf{e_e} }{\partial t} = \mathbf{I}u(-t)ds \, \delta(x) \delta(y) \delta(z) \end{split}\end{split}\]

É possível resolver este sistema para obter soluções analíticas para os campos elétricos e magnéticos transitórios. No entanto, vamos aplicar uma abordagem diferente usando a transformada de Laplace inversa.

Organização

Na seção seguinte, resolvemos as equações de Maxwell para uma fonte dipolo de corrente elétrica transitória e fornecemos expressões analíticas para os campos elétrico e magnético em um meio homogêneo. Expressões assintóticas são então fornecidas para vários casos. Ferramentas de modelagem numérica são disponibilizadas para investigar a dependência dos campos elétricos e magnéticos em vários parâmetros.