Aproximações Assintóticas

Purpose

Aqui, expressões simplificadas para os campos elétricos e magnéticos são apresentadas para vários casos. Examinando expressões simplificadas, podemos ver mais facilmente como os campos dependem de certos parâmetros. Como a solução analítica completa para o potencial do vetor é bastante simples, aproximações assintóticas não são apresentadas aqui.

Campo Próximo/ Tempos tardios

Para campos que estão muito próximos da fonte de dipolo elétrico, ou em tempos suficientemente tardios:

(241)\[\theta r = \Bigg ( \frac{\mu \sigma}{4t} \Bigg )^{1/2} r \ll 1\]

Nesse caso, as funções exponencial e de erro podem ser aproximadas usando a expansão de Taylor. Desse modo:

(242)\[e^{-\theta^2 r^2} = 1 - \theta^2 r^2 + \frac{1}{2}\theta^4 r^4 + \; ...\]

e

(243)\[\textrm{erf}(\theta r) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \theta r - \frac{2}{3 \sqrt{\pi}}\theta^3 r^3 + \frac{1}{5\sqrt{\pi}} \theta^5 r^5 + \;...\]

Ao substituir as expansões de Taylor acima nas soluções analíticas completas para \({\bf e_e}\) e \({\bf h_e}\), podemos obter a aproximações para tempos tardios de campo próximo. No caso do campo elétrico:

(244)\[{\bf e_e}(t) \approx \frac{ Ids}{15 \pi^{3/2} \sigma r^3} \Bigg [ 6 \,\theta^5 r^5 \Bigg ( \frac{x^2}{r^2}\mathbf{\hat x} + \frac{xy}{r^2}\mathbf{\hat y} + \frac{xz}{r^2}\mathbf{\hat z} \Bigg ) + \Big ( 10 \,\theta^3 r^3 + 3 \,\theta^5 r^5 \Big ) \mathbf{\hat x} \Bigg ]\]

De acordo com as Equações (244), \(\mathbf {\hat y}\) e \(\mathbf{\hat z}\) componentes do campo elétrico próximo/tardio decaem proporcional a \(t^{-5/2}\). No entanto, os termos \(\theta^3 r^3\) para a componente \(\mathbf{\hat x}\) não são cancelados. Portanto, a componente \(\mathbf{\hat x}\) do campo elétrico decai proporcionalmente a \(t^{-3/2}\) em tempos suficientemente atrasados. Para o campo magnético, a aproximação de campo próximo/tempo tardio é dada por:

(245)\[{\bf h_e}(t) \approx \frac{\theta^3 Ids}{3\pi^{3/2}} \big (-z \, \mathbf{\hat y} + y \, \mathbf{\hat z} \big )\]

De acordo com a Equação (245), o campo elétrico de campo próximo/tempo tardio decai proporcionalmente a \(t^{-3/2} \), aproximação de campo próximo/tempo tardio para a derivada de tempo do campo magnético é dada por:

(246)\[\frac{\partial {\bf h_e}}{\partial t} \approx \frac{2 \theta^5 Ids}{\mu \sigma \pi^{3/2}} \big ( z \, \mathbf{\hat y} - y \, \hat z \big )\]

De acordo com a Equação (246), a derivada do tempo do campo magnético decai proporcionalmente a \(t^{-5/2}\).

Campo Distante

Para campos que estão longe da fonte de dipolo de corrente elétrica, ou em tempos suficientemente grandes:

(247)\[\theta r = \Bigg ( \frac{\mu \sigma}{4t} \Bigg )^{1/2} r \gg 1\]

Neste caso, a exponencial e a função erro complementar pode ser aproximada como segue:

(248)\[e^{-\theta^2 r^2} \approx 0\]

e

(249)\[\textrm{erfc}(\theta r) \approx 0\]

Como resultado, não há aproximações assintóticas interessantes para o campo distante.