Equações de Maxwell com Fontes Electromagnéticas

Objetivo

Aqui, mostramos como as equações de Maxwell são alteradas na presença de fontes eletromagnéticas. Os dois principais tipos de fontes eletromagnéticas são discutidos.

Em muitos casos, os campos e fluxos dentro de uma região resultam da presença de uma fonte eletromagnética. Como as equações de Maxwell caracterizam totalmente todas as interações eletromagnéticas, elas também devem acomodar a existência de fontes eletromagnéticas. Existem dois tipos principais de fontes eletromagnéticas: fontes elétricas (\(\mathbf{j_e^s}\)) e fontes magnéticas (\(\mathbf{j_m^s}\)).

Fontes Elétricas

Nas equações de Maxwell, as fontes elétricas são representadas usando uma densidade de corrente (\(\mathbf{j_e^s}\)). Portanto, eles têm unidades \([\mathrm{A/m}^2]\). As fontes elétricas podem corresponder a um dipolo de corrente elétrica ou um loop de fio transportando corrente.

De acordo com a Equação de Ampere-Maxwell, correntes elétricas são responsáveis por gerar fluxos magnéticos. Ao contabilizar o termo da fonte elétrica, a equação Ampère-Maxwell torna-se:

\[\nabla\times \mathbf{h} - \mathbf{j_f} - \frac{\partial \mathbf{d}}{\partial t} = \mathbf{j_e^s}\]

onde \(\mathbf{j_f}\) agora é a densidade de corrente livre não contabilizada pelo termo fonte. A densidade de corrente total dentro da região pode ser tratada como a soma da densidade de corrente de origem e a densidade de corrente livre restante (ou seja \(\mathbf{j_{tot} = j_e^s + j_f}\)). No domínio da frequência, a equação Ampère-Maxwell torna-se:

\[\nabla\times \mathbf{H} - \mathbf{J_f} - i\omega \mathbf{D} = \mathbf{J_e^s}\]

onde o termo da fonte elétrica é dado por \(\mathbf{J_e^s}\) e a densidade de corrente livre remanescente é dada por \(\mathbf{J_f}\).

Fontes Magnéticas

Nas equações de Maxwell, a fonte magnética é uma densidade de fluxo magnético (\(\mathbf{b_m^s}\)); que tem unidades [T]. Um exemplo de fonte magnética é o dipolo magnético.

De acordo com Lei de Faraday, fluxos magnéticos variáveis no tempo induzem campos elétricos rotacionais. Observe, entretanto, que a análise dimensional da lei de Faraday mostra que o lado direito tem unidades [T/s]. Como resultado, o termo de fonte magnética é comumente definido como \(\mathbf{j_m^s}\), onde:

\[\mathbf{j_m^s} = - \frac{\partial \mathbf{b_m^s}}{\partial t}\]

Por esta convenção, o termo fonte magnética pode ser considerado uma densidade de corrente magnética. Na presença de um termo de fonte magnética, a lei de Faraday torna-se:

\[\nabla \times \mathbf{e} + \frac{\partial \mathbf{b}}{\partial t} = \mathbf{j_m^s}\]

onde \(\mathbf{b}\) é a densidade de fluxo magnético não considerada dentro do termo fonte. A densidade total do fluxo magnético dentro da região pode ser tratada como a soma da densidade do fluxo da fonte e a densidade do fluxo restante (ou seja \(\mathbf{b_{tot}=b_m^s + b}\)). No domínio da frequência, a densidade do fluxo magnético da fonte é dada por \(\mathbf{B_m^s}\). O termo de origem correspondente é, portanto, definido como:

\[\mathbf{J_m^s} = -i\omega\mathbf{B_m^s}\]

e a Lei de Faraday é dado por:

\[\nabla\times \mathbf{E} + i\omega\mathbf{B} = \mathbf{J_m^s}\]

Reafirmando as Equações de Maxwell

A existência de fontes elétricas e magnéticas resulta em alterações na equação de Maxwell-Ampère e na lei de Faraday, respectivamente. Vamos agora reafirmar as equações de Maxwell em forma diferencial na presença de fontes eletromagnéticas.

Forma Diferencial no Domínio do Tempo

Aqeui, apresentamos as formas diferenciais para lei de Gauss para campos elétricos, lei de Gauss para campos magnéticos, lei de Faraday e a equação de Ampere-Maxwell no domínio do tempo.

\[\begin{split}\begin{align} \textbf{Gauss for E-field:}\;\; &\nabla\cdot\mathbf{d}=\rho_f \\ \textbf{Gauss for B-field:}\;\; &\nabla\cdot\mathbf{b}=0 \\ \textbf{Faraday:} \;\; &\nabla\times\mathbf{e} + \dfrac{\partial \mathbf{b}}{\partial t} = \mathbf{j_m^s} \\ \textbf{Ampere-Maxwell:} \;\; &\nabla\times\mathbf{h} - \mathbf{j_f} - \dfrac{\partial \mathbf{d}}{\partial t} = \mathbf{j_e^s} \end{align}\end{split}\]

onde as seguintes relações constitutivas podem ser usadas para substituir campos e fluxos.

\[\begin{split}\begin{align} \mathbf{j} &= \sigma \mathbf{e}\\ \mathbf{b} &= \mu \mathbf{h}\\ \mathbf{d} &= \varepsilon \mathbf{e} \end{align}\end{split}\]

Se considerarmos um meio homogêneo e combinamos a equação de Maxwell-Ampère e a lei de Faraday para obter a equação de onda, vemos que para uma fonte elétrica:

\[\nabla^2 \mathbf{e} - \mu\sigma \frac{\partial \mathbf{e}}{\partial t} - \mu \varepsilon \frac{\partial^2 \mathbf{e}}{\partial t^2} = \mu \frac{\partial \mathbf{j_e^s}}{\partial t}\]

Como podemos ver, o termo fonte na equação de onda acima depende da derivada no tempo de uma densidade de corrente elétrica. Para uma fonte magnética:

\[\nabla^2 \mathbf{h} - \mu\sigma \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial t} - \mu \varepsilon \frac{\partial^2 \mathbf{h}}{\partial t^2} = - \sigma \mathbf{j_m^s} - \mu \frac{\partial \mathbf{j_m^s}}{\partial t}\]

onde o termo fonte contém derivada no tempo de primeira ordem além do termo sem derivada da fonte \(j_m^s\) (ordem 0).

Forma Diferencial no Domínio da Frequência

Aqui, apresentamos as formas diferenciais para lei de Gauss para os acampos elétricos, lei de Gauss para os campos magnéticos, lei de Faraday e a equação de Ampere-Maxwell no domínio da frequência:

\[\begin{split}\begin{align} \textbf{Gauss for E-field:} \;\; &\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_f \\ \textbf{Gauss for B-field:} \;\; &\nabla\cdot\mathbf{B}=0 \\ \textbf{Faraday:} \;\; &\nabla\times\mathbf{E} + i\omega\mathbf{B} = \mathbf{J_m^s} \\ \textbf{Ampere-Maxwell:} \;\; &\nabla\times\mathbf{H} - \mathbf{J_f} - i\omega \mathbf{D} = \mathbf{J_e^s} \end{align}\end{split}\]

onde as seguintes relações constitutivas podem ser usadas para substituir campos e fluxos:

\[\begin{split}\begin{align} \mathbf{J} &= \sigma \mathbf{E}\\ \mathbf{B} &= \mu \mathbf{H}\\ \mathbf{D} &= \varepsilon \mathbf{E} \end{align}\end{split}\]

Se considerarmos um meio homogêneo e combinamos a equação de Maxwell-Ampère e a lei de Faraday para obter a equação de Helmholtz, vemos que para uma fonte elétrica:

\[\nabla^2 \mathbf{E} + k^2 \mathbf{E} = i\omega\mu \mathbf{J_e^s}\]

onde a magnitude do termo de fonte aumenta linearmente em relação à frequência angular. Para uma fonte magnética:

\[\nabla^2 \mathbf{H} + k^2 \mathbf{H} = - \big ( \sigma + i\omega\varepsilon \big ) \mathbf{J_m^s}\]

onde o lado direito depende das propriedades condutivas e dielétricas do meio. Lembre-se de que o o número de onda é dado por:

\[k = \sqrt{\omega^2 \mu \varepsilon - i\omega \mu\sigma}\]