Definindo o Dipolo de Corrente Elétrico
Objetivo
Aqui, fornecemos uma descrição física do dipolo de corrente elétrica. Isso é usado para desenvolver uma expressão matemática que pode ser usada para substituir o termo de fonte elétrica nas equações de Maxwell.
Definição Geral
Figura 63 Representação física fonte de dipolo de corrente elétrica onde \(\mathbf{p}\) = 1 Am.
O dipolo de corrente elétrica pode ser considerado um comprimento infinitesimal de fio que carrega uma corrente. A força da fonte é definida por seu momento de dipolo (\(\mathbf{p}\)). Isso leva a um termo de fonte elétrica da forma:
onde \(\delta (x)\) é a função delta de Dirac. A fonte é responsável por gerar uma densidade de corrente primária (\(\mathbf{J}\)) na região circundante; campos elétricos e magnéticos secundários são discutidos mais tarde. Isso é ilustrado em Figura 63. Em muitos casos, o termo ‘fonte de dipolo elétrico’ é usado em seu lugar. No entanto, um verdadeiro dipolo elétrico representa a polarização de cargas elétricas de sinal oposto.
Modelo de fio para um dipolo de corrente elétrica
Para desenvolver uma definição mais detalhada para o dipolo da corrente elétrica, vamos primeiro considerar a corrente da fonte de um fio de comprimento finito. Suponha que o fio tenha comprimento \(\Delta s\) e carregue uma corrente \(I\) que flui na direção \(\mathbf{\hat x}\) ao longo do fio. A densidade de corrente de origem \(\mathbf{J_e^s}\) para o segmento de fio é dada por:
onde \(u(x)\) é a função degrau uintária. Nas equações de Maxwell, \(\mathbf{J_e (r)}\) define o termo fonte elétrico e tem unidade \(\mathrm{A/m}^2\).
Como podemos ver em Figura 64, a fonte gera uma densidade de corrente primária (\(\mathbf{J}\)) na região circundante. Observe como a corrente flui por uma extremidade do fio e para a outra (Figura 64 à esquerda). No entanto, quando o segmento de fio é muito menor do que a escala de observação (\(\Delta s \ll r\)), então parece que a densidade de corrente converge para um único ponto; veja Figura 64 (direita). O objetivo do dipolo de corrente elétrica é aproximar um segmento finito do fio quando as escalas de observação são muito maiores do que o comprimento do fio. O dipolo de corrente elétrica faz isso definindo um termo fonte que existe em um único ponto no espaço.
Figura 64 Densidade de corrente elétrica devido a um fio condutor de corrente finito. Fio longo (à esquerda). Fio curto (direita). Para ambos os fios, a corrente foi ajustada de modo que \(I\Delta s\) = 1 Am.
A fonte de dipolo de corrente elétrica é definida fazendo \(\Delta s \rightarrow ds\) na equação anterior; tornando-o um fio de comprimento infinito. Como resultado, a densidade de corrente de origem para um dipolo de corrente elétrica harmônica na direção \(\mathbf{\hat x}\) é dada por:
Figura 65 Densidade de corrente elétrica primária devido a um dipolo de corrente elétrica com \(\mathbf{p}\) = 1 Am.
Examinando Figura 65, vemos que a densidade de corrente na região circundante converge para um único ponto; assim como em Figura 64 (direita). No entanto, como um segmento de fio finito, a corrente ainda flui para fora de um lado da fonte para o outro.
Se considerarmos um dipolo de corrente elétrica orientado em uma direção arbitrária, a fonte de corrente se torna um vetor \(\mathbf{I}\). Assim, a densidade de corrente de fonte para um dipolo de corrente elétrica é dada por:
A força da fonte de dipolo de corrente elétrica é definida por seu momento de dipolo (\(\mathbf{p}\)). Como podemos ver na equação anterior, o termo fonte depende do produto \(\mathbf{I} ds\). Assim, o momento de dipolo para uma fonte de dipolo de corrente elétrica é dado por:
onde
De nossa definição de dipolo de corrente elétrica, \(\mathbf{p}\) tem unidades Am, cada uma das funções delta de Dirac carregam unidades \(\mathrm{m}^ {-1}\), e assim \(\mathbf{J_e^s}\) tem unidades \(\mathrm{A/m}^ 2\).