Definindo o Dipolo Magnético

Objetivo

Aqui, fornecemos uma descrição física do dipolo magnético. Isso é usado para desenvolver uma expressão matemática que pode ser usada para substituir o termo da fonte magnética nas equações de Maxwell.

Descrição Geral

Figura 68 Represntação física da fonte do tipo dipolo magnéticao onde \(\mathbf{m}\) = 1 Am \(\!^2\).

Existem dois modelos comumente usados para o dipolo magnético. O primeiro modelo descreve o dipolo magnético como um volume infinitamente pequeno de material magnetizado (ou seja, uma barra magnética muito pequena). O segundo modelo descreve o dipolo magnético usando um loop de corrente infinitamente pequeno. Em ambos os casos, a força da fonte de dipolo magnético é definida por um momento de dipolo (\(\mathbf{m}\)). Isso leva a um termo de fonte magnética (\(\mathbf{J_m^s}\)) da forma:

(250)\[\mathbf{J_m^s} = - i\omega \mu \mathbf{m} \delta (x) \delta (y) \delta (z)\]

onde \(\delta (x)\) é a função delta de Dirac. A fonte dipolo magnética é responsável por gerar um campo magnético primário na região circundante; campos elétricos e magnéticos secundários são discutidos mais tarde. Isso é ilustrado em Figura 68.

Modelo de Volume Magnetizado

Este modelo deriva a fonte dipolo magnética considerando um volume de material uniformemente magnetizado; em outras palavras, um ímã de barra. Vamos supor que o volume tenha magnetização uniforme (\(\mathbf{M}\)) e tenha dimensões \(\Delta x\), \(\Delta y\) e \(\Delta z\); dando a ele um volume de \(\Delta V\). O termo da fonte magnética resultante (\(\mathbf{J_m^s}\)) é dado por:

(251)\[\mathbf{J_m^s} = - i\omega \mu \mathbf{M (r)}\]

onde

(252)\[\begin{split}\begin{split} \mathbf{M (r)}\!=\!\mathbf{M} \Delta V & \!\Bigg [ \! \frac{u \big ( x \! +\!\frac{\Delta x}{2} \big ) \! - \! u \big ( x \! -\!\frac{\Delta x}{2} \big )}{\Delta x} \! \Bigg ] ... \\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \! \Bigg [ \! \frac{u \big ( y \! +\!\frac{\Delta y}{2} \big ) \! - \! u \big ( y \! -\!\frac{\Delta y}{2} \big )}{\Delta y} \! \Bigg ] \!\! \Bigg [ \! \frac{u \big ( z \! +\!\frac{\Delta z}{2} \big ) \! - \! u \big ( z \! -\!\frac{\Delta z}{2} \big )}{\Delta z} \! \Bigg ] \end{split}\end{split}\]

e \(u(x)\) é a função degrau unitário. Lembre-se de que \(\mathbf{J_m^s}\) define uma densidade de corrente magnética e tem unidades V/m \(\!^ 2\). Assim \(\mathbf{J_m^s}\) pode ser usado para substituir o termo de fonte magnética nas equações de Maxwell por um bloco magnetizado uniformemente.

Na Figura 69, consideramos um volume uniformemente magnetizado onde \(\mathbf{M}= M\mathbf{\hat y}\). Como podemos ver, a magnetização contida no volume gera um campo magnético primário na região circundante. Observe como as linhas de campo parecem começar na extremidade norte do volume magnetizado e terminar no sul (Figura 69 esquerda). No entanto, quando o volume é muito menor do que a escala de observação (\(\Delta x, \Delta y, \Delta z \ll r\)), então parece que as linhas do campo magnético convergem em um único ponto; veja Figura 69 (direita).

Figura 69 Magnetic field due to a uniformly magnetized volume. Large volume (left). Small volume (right). For both volumes, the magnetization was adjusted such that \(M \Delta V\) = 1 Am \(\!^2\).

Dipolos magnéticos podem ser usados para aproximar campos devido a volumes magnetizados muito pequenos quando a escala de observação é suficientemente grande. Isso é realizado definindo um termo de origem que existe em um único ponto no espaço. Da expressão anterior, a fonte de dipolo magnético é obtida fazendo \(\Delta x, \, \Delta y, \, \Delta z \rightarrow dx, \, dy, \, dz\); em outras palavras, permitindo \(\Delta V \rightarrow dV\). Assim, o termo fonte para um dipolo magnético é dado por:

(253)\[\mathbf{J_m^s} = - i \omega \mu \mathbf{M} dV \delta (x) \delta (y) \delta (z)\]

A força da fonte de dipolo magnético é definida por seu momento de dipolo (\(\mathbf{m}\)). Como podemos ver na expressão anterior, o termo fonte depende do produto \(\mathbf{M} dV\). Assim, o momento de dipolo que define a fonte de dipolo magnético é dado por:

(254)\[\mathbf{m} = \mathbf{M} dV\]

Da nossa definição de dipolo magnético, \(\mathbf {m}\) tem unidades Am \(\!^2\). Cada função delta de Dirac carrega unidades m \(\!^{-1}\), \(\omega\) tem unidades s \(\!^{-1}\) e \(\mu\) tem unidades H/m. Onde 1 H = 1 V \(\!\cdot\!\) s/A, o termo de fonte magnética (\(\mathbf{J_m}\)) tem unidades V/m \(\!^2\).

Para um bloco retangular magnetizado (Figura 69 esquerda), o campo magnético fora da região de origem pode ser calculado de acordo com Sharma (1966); uma formulação mais limpa pode ser encontrada em Varga. Ao tomar o limite como \(\Delta x, \, \Delta y, \, \Delta z \rightarrow dx, \, dy, \, dz\), o campo magnético gerado por um bloco retangular magnetizado reduz a (Figura 69 direita):

(255)\[\mathbf{H_{dip}(r)} = \frac{1}{4\pi} \Bigg [ \frac{3 \mathbf{r (m \cdot r)} }{r^5} - \frac{\mathbf{m}}{r^3} \Bigg ]\]

Modelo Loop de Corrente

Os campos magnéticos são gerados pelo movimento de cargas elétricas (ou seja, corrente elétrica). Por causa disso, um volume magnetizado em si não representa uma fonte física. Aqui, vamos demonstrar como o momento de dipolo magnético pode ser representado por um loop infinitamente pequeno de corrente.

Primeiro, vamos considerar um grande loop circular de corrente com radius \(a\) e current \(I\) (Figura 70 à esquerda). Para obter o campo magnético primário do loop, podemos usar a Lei de Biot-Savart:

(256)\[\mathbf{H (r)} = \frac{1}{4\pi} \int_C \frac{I \, d\mathbf{l} \times \mathbf{\hat r}}{r^2}\]

A solução analítica para a lei de Biot-Savart neste caso é bastante complicada e contém várias funções integrais elípticas; para solução veja aqui (link). Se o raio do loop for muito menor do que a escala de observação (\(a \ll r\)), o campo magnético primário devido ao loop pode ser simplificado para:

(257)\[\mathbf{H(r)} = \frac{1}{4\pi} \Bigg [ \frac{3 \mathbf{r} (\pi a^2 I \mathbf{\hat n} \cdot \mathbf{r)} }{r^5} - \frac{\mathbf{\pi a^2 I \mathbf{\hat n}}}{r^3} \Bigg ]\]

onde \(\mathbf{\hat n}\) é o vetor unitário normal à área dentro do loop. O campo magnético primário para um pequeno loop é mostrado em Figura 70 (direita).

Figura 70 Campo magnético devido a um loop de corrente. Grande loop de corrente (esquerda). Loop de corrente pequeno (direita). Para ambos os loops, a corrente é ajustada de modo que \(IS\) = 1 Am \(\!^2\).

Observe como o campo primário para um pequeno loop é efetivamente idêntico ao de uma fonte de dipolo magnético. Além disso, a intensidade do campo depende do produto da corrente do loop e sua área (\(S = \pi a^2\)). Portanto, se definirmos o momento de dipolo do loop como:

(258)\[\mathbf{m} = I \mathbf{S}\]

onde \(\mathbf{S} = \pi a^2 I \mathbf{\hat n}\), então o campo magnético primário devido a um pequeno loop de corrente é dado por:

(259)\[\mathbf{H_{dip}(r)} = \frac{1}{4\pi} \Bigg [ \frac{3 \mathbf{r (m \cdot r)} }{r^5} - \frac{\mathbf{m}}{r^3} \Bigg ]\]

A expressão anterior nos diz que se a escala de observação for significativamente maior do que o raio do loop, o loop pode ser representado por uma fonte dipolo magnética. Deve-se também concluir que o loop pode ser representado por um termo fonte dipolo magnético correspondente (\(\mathbf{J_m^s}\)) igual a:

(260)\[\mathbf{J_m^s} = - i \omega \mu I \mathbf{S} \delta (x) \delta (y) \delta (z)\]

Aqui, escolhemos um tratamento muito simples do modelo de loop de corrente para uma fonte de dipolo magnético. Uma derivação mais completa do momento de dipolo a partir das equações de Maxwell pode ser encontrada em Griffiths ([Gri99]).