Equações de Maxwell: Domínio da Frequência

Objetivo

Aqui, Lei de Faraday e a equação Ampere-Maxwell são usadas para construir equações vetoriais de Helmholtz para \(\mathbf{E}\) e \(\mathbf{H}\), respectivamente. Isso é realizado assumindo que estamos em um meio homogêneo. Várias componentes das equações diferenciais resultantes em frequência são discutidas. O entendimento físico das equações derivadas aqui pode ser estendido para aplicações mais complexas em todo o curso.

Para obter as equações de onda no domínio da frequência, usamos a transformada de Fourier com uma dependência de tempo do tipo \(e^{i\omega t}\). A derivada de \(e^{i\omega t}\) em relaçaão ao tempo é \(i\omega e^{i\omega t}\). Assim, podemos facilmente converter as equações de onda no domínio do tempo para o domínio da frequência substituindo \(\partial / \partial t\) por \(i\omega\) e \(\partial^ 2 / \partial t^2\) com \(- \omega^2\). As equações no domínio da frequência são, portanto, dadas por:

(112)\[\boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{E} + (\mu \epsilon \omega^2 - i \mu \sigma \omega) \mathbf{E} = 0\]

e

(113)\[\boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{H} + (\mu \epsilon \omega^2 - i \mu \sigma \omega) \mathbf{H} = 0\]

Equações (112) e (113) são geralmente expressadas na seguinte forma:

(114)\[\boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{E} + k^2 \mathbf{E} = 0\]

e

(115)\[\boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{H} + k^2 \mathbf{H} = 0\]

em que \(k = \sqrt{\mu \epsilon \omega^2 - i \mu \sigma \omega}\) é conhecido com número de onda.

Equação de Helmholtz

As Equações (114) e (115) têm formas idênticas e são ambas caracterizadas pela equação vetorial de Helmholtz. Em teoria eletromagnética, a equação vetorial de Helmholtz é a equivalente no domínio da frequência da equação de onda com perdas. As propriedades de \(\mathbf{E}\) e \(\mathbf{H}\) dependem do número de onda \(k\). Soluções para a equação de Helmholtz são frequentemente proporcionais a \(e^{\pm i k r}\), onde \(r\) define alguma distância percorrida pelo sinal. Para essas soluções, a componente real de \(k\) define a perda de amplitude à medida que o sinal viaja. A componente imaginária de \(k\) define o comportamento oscilatório do sinal. Isso é discutido com muito mais detalhes quando falamos sobre ondas planas harmônicas em um meio homogêneo.

Regime Quase Estático

No regime quase estático, a condutividade domina as propriedades do sinal EM, ou seja:

\[\sigma \gg \omega \epsilon\]

e o número de onda é aproximadamente igual a:

\[k \approx \sqrt{-i\omega\mu\sigma}\]

O número de onda ainda tem componentes real e imaginária. Como resultado, o sinal EM experimenta atenuação e oscilação. O número de onda é controlado pelo produto de \(\mu\sigma\). Lembre-se de propriedades físicas entretanto, que \(\mu\approx\mu_0\) para a maioria dos materiais e que \(\sigma\) varia em muitas ordens de magnitude. Como resultado, as propriedades de \(\mathbf{E}\) e \(\mathbf{H}\) são controladas principalmente pela condutividade. A relação entre \(\sigma\) e sinais EM é muito importante para métodos eletromagnéticos no domínio de frequência (FDEM).

Regime de Onda

No regime de onda, a permissividade dielétrica domina as propriedades do sinal EM, ou seja:

\[\sigma \ll \omega \epsilon\]

e o número de onda é aproximadamente igual a

\[k \approx \sqrt{\omega^2 \mu\epsilon}\]

Neste caso, o número de onda contém apenas componente real e, portanto, a amplitude de \(e^{\pm i k r}\) é constante. Isso faria sentido, visto que a energia é conservada em uma equação de onda sem perdas. O número de onda é controlado pelo produto de \(\mu\epsilon\). Lembre-se de propriedades físicas entretanto, que \(\mu\approx\mu_0\) para a maioria dos materiais e que \(\epsilon\) varia em várias ordens de magnitude. Como resultado, as propriedades de \(\mathbf{E}\) e \(\mathbf{H}\) são controladas principalmente pela permissividade dielétrica. A relação entre \(\epsilon\) e sinais EM é muito importante para o radar de penetração no solo no domínio da frequência.