Visão Geral das Equações de Maxwell

Objetivo

Tendo fornecido o conjunto de leis fundamentais para eletromagnetismo, apresentamos as quatro representações mais comuns das equações de Maxwell. Esta página serve como um guia rápido. Para problemas específicos, pode ser benéfico começar a partir de formas menos comuns das equações de Maxwell. Observe, entretanto, que todos os formulários podem ser derivados das expressões apresentadas aqui.

As equações de Maxwell são compostas de quatro leis fundamentais; ie Lei de Gauss para campos elétricos, Lei de Gauss para campos magnéticos, Lei de Faraday e a Lei de Ampère-Maxwell. As equações podem ser escritas de várias maneiras e caracterizam as relações físicas entre os campos \((\mathbf{e},\mathbf{h})\) e os fluxos \((\mathbf{b},\mathbf{d})\). Formulações específicas podem ser obtidas através do uso de relações constitutivas. As equações de Maxwell podem ser escritas na frequência ou no tempo e na forma diferencial ou integral:

1. Forma Diferencial no Domínio do Tempo

2. Forma Diferencial no Domínio da Frequência

3. Forma Integral no Domínio do Tempo

4. Forma Integral no Domínio da Frequência

Esta página foi projetada para ser um acesso rápido às equações relevantes com notação e unidades. As equações são apropriadas para campos EM na matéria. Se os campos estão em espaço livre, então as mesmas relações constitutivas são usadas, mas com \(\sigma= 0\), \(\mu_0\) e \(\varepsilon_0\). As equações constitutivas também são escritas assumindo que as propriedades físicas são isotrópicas e não dispersivas. Mais detalhes sobre isso podem ser encontrados em [WH88] (pp. 133) ou na página de propriedades físicas.

Variáveis e Unidades

As variáveis e unidades de quantidades relevantes nas equações de Maxwell são dadas aqui.

Campos

Campo	Domínio da Frequencia	Domínio do Tempo	Unidades
Campo Elétrico	\(\mathbf{E}\)	\(\mathbf{e}\)	V/m
Campo Magnético	\(\mathbf{H}\)	\(\mathbf{h}\)	A/m

Fluxos

Fluxo	Domínio da Frequencia	Domínio do Tempo	Unidades
Densidade de Corrente	\(\mathbf{J}\)	\(\mathbf{j}\)	A/m \(^2\)
Deslocamento Elétrico	\(\mathbf{D}\)	\(\mathbf{d}\)	C/m \(^2\)
Densidade de Fluxo Magnético	\(\mathbf{B}\)	\(\mathbf{b}\)	T

Propriedades Físicas

Propriedade	Símbolo	Unidades
Condutividade	\(\sigma\)	S/m
Resistividade	\(\rho\)	\(\Omega m\)
Permeabilidade	\(\mu\)	H/m
Permisividade	\(\varepsilon\)	F/m

Forma Diferencial no Domínio do Tempo

Aqui, apresentamos formas diferenciais para Lei de Gauss para campos elétricos, Lei de Gauss para campos magnéticos, Lei de Faraday e a Equação Ampere-Maxwell no domínio do tempo.

\[\begin{split}\begin{align} \textbf{Gauss para campo E:}\;\; &\nabla\cdot\mathbf{d}=\rho_f \\ \textbf{Gauss para campo B:}\;\; &\nabla\cdot\mathbf{b}=0 \\ \textbf{Faraday:} \;\; &\nabla\times\mathbf{e}=-\dfrac{\partial \mathbf{b}}{\partial t} \\ \textbf{Ampere-Maxwell:} \;\; &\nabla\times\mathbf{h}=\mathbf{j} + \dfrac{\partial \mathbf{d}}{\partial t} \end{align}\end{split}\]

onde \(\rho_f\) é a densidade de carga livre e \(\mathbf{j}\) é a densidade de corrente livre. As seguintes relações constitutivas pode ser usadas para substituirem campos e fluxos:

\[\begin{split}\begin{align} \mathbf{j} &= \sigma \mathbf{e}\\ \mathbf{b} &= \mu \mathbf{h}\\ \mathbf{d} &= \varepsilon \mathbf{e} \end{align}\end{split}\]

Forma Diferencial no Domínio da Frequência

Aqui, apresentamos as formas diferenciais lei de Gauss para campos elétricos, Lei de Gauss para campos magnéticos, Lei de Faraday and the Equação de Ampere-Maxwell no domínio da frequência:

\[\begin{split}\begin{align} \textbf{Gauss para campo E:} \;\; &\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_f \\ \textbf{Gauss para campo B:} \;\; &\nabla\cdot\mathbf{B}=0 \\ \textbf{Faraday:} \;\; &\nabla\times\mathbf{E}=-i\omega\mathbf{B} \\ \textbf{Ampere-Maxwell:} \;\; &\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J} + i\omega \mathbf{D} \end{align}\end{split}\]

onde \(\rho_f\) é a densidade de carga livre e \(\mathbf{J}\) é a densidade de corrente. As seguintes relações constitutivas podem ser usadas para substituirem campos e fluxos:

\[\begin{split}\begin{align} \mathbf{J} &= \sigma \mathbf{E}\\ \mathbf{B} &= \mu \mathbf{H}\\ \mathbf{D} &= \varepsilon \mathbf{E} \end{align}\end{split}\]

Forma Integral no Domínio do Tempo

Aqui, apresentamos formas integrais para Lei de Gauss para campos elétricos, Lei de Gauss para campos magnéticos, Lei de Faraday e a Equação Ampere-Maxwell no domínio do tempo.

\[\begin{split}\begin{align} \textbf{Gauss para campo E:} \; & \int_V\nabla\cdot\mathbf{d}\; dV \! =\!\oint_S\mathbf{d}\cdot d\mathbf{a} \! = \! Q_f \\ \textbf{Gauss para campo B:} \; & \oint_S \mathbf{b} \cdot d \mathbf{a}=0 \\ \textbf{Faraday:} \; & \oint_C \mathbf{e}\cdot d\mathbf{l}=-\int_S\dfrac{\partial \mathbf{b}}{\partial t}\cdot d\mathbf{a} \\ \textbf{Ampere-Maxwell:} \; & \oint_C \!\mathbf{h} \cdot d\mathbf{l} = \! \int_S \!\Big ( \mathbf{j} \!+\! \dfrac{\partial \mathbf{d}}{\partial t} \Big ) \!\cdot d\mathbf{a} \end{align}\end{split}\]

onde \(Q_f\) é a carga elétrica total e \(\mathbf{j}\) é a densidade de corrente livre. \(d\mathbf{a}\) é uma unidade infintesimal de área de superfície com direção vetorial normal à superfície \(S\). \(d\mathbf{l}\) é um comprimento infinitesimal com a direção vetorial ao longo de um caminho fechado \(C\). O seguinte relacionamentos constitutivos podem ser usados para substituir campos e fluxos:

\[\begin{split}\begin{align} \mathbf{j} &= \sigma \mathbf{e}\\ \mathbf{b} &= \mu \mathbf{h}\\ \mathbf{d} &= \varepsilon \mathbf{e} \end{align}\end{split}\]

Forma Integral no Domínio da Frequência

Aqui, apresentamos formas integrais para Lei de Gauss para campos elétricos, Lei de Gauss para campos magnéticos, Lei de Faraday e a Equação Ampere-Maxwell no domínio da frequência.

\[\begin{split}\begin{align} \textbf{Gauss for E-field:} \; &\int_V\nabla\cdot\mathbf{D}\; dV=\oint_S\mathbf{D}\cdot d \mathbf{a} \! =\! Q_f \\ \textbf{Gauss for B-field:} \; &\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a}=0 \\ \textbf{Faraday:} \; &\oint_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-i\omega\int_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{a} \\ \textbf{Ampere-Maxwell:} \; & \oint_C \!\mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \! \int_S \!\big ( \mathbf{J} \!+\! i\omega \mathbf{D} \big ) \!\cdot d\mathbf{a} \end{align}\end{split}\]

onde \(Q_f\) é a carga elétrica total e \(\mathbf{j}\) é a densidade de corrente livre. \(d\mathbf{a}\) é uma unidade infintesimal de área de superfície com direção vetorial normal à superfície \(S\). \(d\mathbf{l}\) é um comprimento infinitesimal com a direção vetorial ao longo de um caminho fechado \(C\). As seguintes relações constitutivas podem ser usados para substituir campos e fluxos:

\[\begin{split}\begin{align} \mathbf{J} &= \sigma \mathbf{E}\\ \mathbf{B} &= \mu \mathbf{H}\\ \mathbf{D} &= \varepsilon \mathbf{E} \end{align}\end{split}\]