Transiente do Dipolo Magnético

Objetivo

Aqui, fornecemos uma descrição física do dipolo magnético dependente do tempo. Isso é usado para desenvolver uma expressão matemática que pode ser usada para substituir o termo da fonte magnética nas equações de Maxwell. Em seguida, consideramos um dipolo magnético transiente; que representa uma fonte geofísica mais comumente usada.

Definição Geral

../../../../_images/H_source_magnetic_dipole2.png — Figura 72 Representação física da fonte dipolo magnético dependente do tempo.

O dipolo magnético dependente do tempo pode ser pensado como um loop infinitesimalmente pequeno que carrega uma corrente dependente do tempo. A força da fonte é, portanto, definida por um momento de dipolo dependente do tempo \(\mathbf{m}(t)\). Para um dipolo magnético dependente do tempo definido pelo vetor de área de superfície \(\mathbf{S}\) e corrente \(I(t)\), o momento de dipolo é dado por:

\[\mathbf{m}(t) = I(t)\mathbf{S}\]

Como resultado, o termo fonte para o dipolo magnético dependente do tempo é dado por:

\[\mathbf{j_m (r)} = - \dfrac{\partial I}{\partial t} \mathbf{S} \, \delta (x) \delta (y) \delta (z)\]

onde \(\delta (x)\) é a função delta de Dirac. Observe como o termo de origem contém uma derivada no tempo da corrente do loop. Ao incluir o termo fonte, as equações de Maxwell no domínio do tempo são dadas por:

\[\begin{split}\begin{split} \nabla \times \mathbf{e_m} + \mu \dfrac{ \mathbf{h_m} }{\partial t} &= - \dfrac{\partial I(t)}{\partial t} \mathbf{S} \, \delta (x) \delta (y) \delta (z) \\ \nabla \times \mathbf{_m} - & \sigma \mathbf{e_m} - \varepsilon \dfrac{\partial \mathbf{e_m} }{\partial t} = 0 \end{split}\end{split}\]

onde os subescritos \(_m\) lembra-nos de que estamos considerando uma fonte magnética. A fonte é responsável por gerar um campo magnético primário na região circundante (Figura 72). De acordo com a Lei de Faraday, campos magnéticos variáveis no tempo geram campos elétricos rotacionais. Na matéria, isso leva a uma densidade de corrente induzida que produz campos magnéticos secundários de acordo com a Equação Ampere-Maxwell.

Transiente do Dipolo de Corrente Elétrica

A resposta transitória representa a resposta de um sistema à excitação escalonada. Para um transinete do dipolo magnético com vetor de área de superfície \(\mathbf{S}\), a resposta eletromagnética resulta de uma corrente de saída da forma \(I(t)=I u(-t)\). Assim, o momento de dipolo é dado por:

\[\mathbf{m}(t) = I u(-t) \mathbf{S}\]

onde \(u(t)\) é a função degrau unitária e \(I\) é a amplitude da corrente em \(t \leq 0\). O termo fonte para o dipolo magnético de corrente é dado por:

\[\mathbf{j_m^s} = I \delta(t) \mathbf{S} \, \delta (x) \delta (y) \delta (z)\]

onde \(\delta (x)\) é a função delta de Dirac. Ao incluir o termo fonte, as equações de Maxwell no domínio do tempo são dadas por:

\[\begin{split}\begin{align} \nabla \times \mathbf{e_m} + \mu \dfrac{\partial \mathbf{h_m} }{\partial t} &= I \delta(t) \mathbf{S} \, \delta (x) \delta (y) \delta (z) \\ \nabla \times \mathbf{h_m} - &\sigma \mathbf{e_m} - \varepsilon \dfrac{\partial \mathbf{e_m} }{\partial t} = 0 \end{align}\end{split}\]

É possível resolver este sistema para obter soluções analíticas para o transiente dos campos elétricos e magnéticos. No entanto, vamos aplicar uma abordagem diferente que usa a transformada de Laplace inversa.

Organização

Na seção seguinte, resolvemos as equações de Maxwell para o transiente de uma fonte dipolo magnética e fornecemos expressões analíticas para os campos elétricos e magnéticos em um meio homogêneo. Expressões assintóticas são então fornecidas para vários casos. Ferramentas de modelagem numérica são disponibilizadas para investigar a dependência dos campos elétricos e magnéticos em vários parâmetros.