Aproximações Assintóticas

Objetivo

Aqui, expressões simplificadas para os campos elétricos e magnéticos são apresentadas para vários casos. Examinando expressões simplificadas, podemos ver mais facilmente como os campos dependem de certos parâmetros. Como a solução analítica completa para o potencial do vetor é bastante simples, aproximações assintóticas não são apresentadas aqui.

Campo Próximo/Tempos Tardios

Para campos que estão muito próximos da fonte de dipolo magnético, ou em momentos suficientemente tardios:

(304)\[\theta r = \Bigg ( \frac{\mu \sigma}{4t} \Bigg )^{1/2} r \ll 1\]

Como resultado, as funções exponencial e de erro podem ser aproximadas usando a expansão de Taylor, onde:

(305)\[e^{-\theta^2 r^2} \approx 1 - \theta^2 r^2 + \frac{1}{2}\theta^4 r^4 + \; ...\]

e

(306)\[\textrm{erf}(\theta r) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \theta r - \frac{2}{3 \sqrt{\pi}}\theta^3 r^3 + \frac{1}{5\sqrt{\pi}}\theta^5 r^5 + \; ...\]

Substituindo a série de Taylor acima nas expressões analíticas para \({\bf e_m}\) e \({\bf h_m}\), podemos obter campo próximo/ aproximações tempos tardio. No caso do campo elétrico, a aproximação de campo próximo/tempo-tardio é dada por:

(307)\[{\bf e_m}(t) \approx \frac{2 m \theta^5}{\pi^{3/2} \sigma} \big ( -z \, \mathbf{\hat y} + y \, \mathbf{\hat z} \big )\]

De acordo com a Equação (244), o campo elétrico próximo/tempo-tardio decai proporcionalmente a \(t^{-5/2}\). Para o campo magnético, a aproximação de campo próximo/tempo tardio é dada por:

(308)\[{\bf h_m}(t) \approx \frac{2 m}{15 \pi^{3/2} r^3} \Bigg [ 3\, \theta^5 r^5 \Bigg ( \frac{x^2}{r^2}\mathbf{\hat x} + \frac{xy}{r^2}\mathbf{\hat y} + \frac{xz}{r^2}\mathbf{\hat z} \Bigg ) + \bigg ( 5\, \theta^3 r^3 - 6\, \theta^5 r^5 \bigg ) \mathbf{\hat x} \Bigg ]\]

De acordo com a Equação (245), as componentes \(\mathbf{\hat y}\) e \(\mathbf{\hat z}\) do campo magnético decai proporcionalmente para \(t^{-5/2}\). Para a componente \(\mathbf{\hat x}\) entretanto, o termo \(\theta^3 r^3\) permanece. Como resulatado, a componete \(\mathbf{\hat x}\) do campo decai proporcional a \(t^{-3/2}\) apoós substituir tempo suficente. A aproximação de campo próximo/tempo-tardio para a derivada de tempo do campo magnético é dada por:

(309)\[\frac{\partial {\bf h_m}}{\partial t} \approx - \frac{4m \theta^5}{\pi^{3/2} \mu \sigma} \Bigg [ \theta^2 r^2 \Bigg ( \frac{x^2}{r^2}\mathbf{\hat x} + \frac{xy}{r^2}\mathbf{\hat y} + \frac{xz}{r^2}\mathbf{\hat z} \Bigg ) + \bigg ( 1 - 2\, \theta^2 r^2 \bigg ) \mathbf{\hat x} \Bigg ]\]

De acordo com as Equações (246), \(\mathbf{\hat y}\) e \(\mathbf{\hat z}\) as componentes do campo decaem proporcional a \(t^{-7/2}\). Na \(\mathbf{\hat x}\) entretanto, os termos \(\theta^5 r^ 5\) permanecem. Como resultado, a componente \(\mathbf{\hat x}\) do campo decai proporcionalmente a \(t^{-5/2}\) após tempo suficiente.

Campo Distante

Para campos que estão longe da fonte do dipolo magnético, ou em tempos suficientemente iniciais:

(310)\[\theta r = \Bigg ( \frac{\mu \sigma}{4t} \Bigg )^{1/2} r \gg 1\]

Neste caso, a exponencial e a função erro complementa, podem ser aproximadas como seguem:

(311)\[e^{-\theta^2 r^2} \approx 0\]

e

(312)\[\textrm{erfc}(\theta r) \approx 0\]

Como resultado, não há aproximações assintóticas interessantes para o campo distante.