Número de Onda

Para ondas eletromagnéticas caracterizadas pela equação de Helmholtz, todas as propriedades de onda correspondentes podem ser derivadas do número de onda \(k\). O número de onda em uma determinada frequência depende das propriedades físicas do meio de propagação e é dado por:

\[k = \sqrt{\mu \epsilon \omega^2 - i \mu \sigma \omega}\]

O número de onda tem componentes real e imaginária e pode ser decomposto da seguinte forma:

\[k = \alpha - i \beta\]

tal que solução geral para a propagação de ondas planas EM na direção vertical torna-se:

\[\mathbf{E} = \mathbf{E}_0^- \, e^{\beta z}e^{i(\alpha z-\omega t)} + \mathbf{E}_0^+ \, e^{-\beta z}e^{-i(\alpha z+\omega t)}\]

De acordo com [Str41, WH88], \(\alpha\) e \(\beta\) are given by:

\[\alpha = \omega \left ( \frac{\mu \epsilon}{2} \left [ \left ( 1 + \frac{\sigma^2}{\epsilon^2 \omega^2} \right )^{1/2} + 1 \right ] \right )^{1/2} \geq 0\]

\[\beta = \omega \left ( \frac{\mu\epsilon}{2} \left [ \left ( 1 + \frac{\sigma^2}{\epsilon^2 \omega^2} \right)^{1/2} - 1 \right ] \right ) ^{1/2} \geq 0\]

Onde derivando uma solução geral, estabelecemos que \(\alpha\) (a componente real do número de onda) determina o comprimento de onda e velocidade da onda plana. Enquanto \(\beta\) (a componente imaginária do número de onda) determina a atenuação. Os detalhes disso podem ser aprendidos visualmente por meio do aplicativo, bem como por meio do seguinte material sobre as propriedades de ondas plans.

Aproximações

Aproximação Quase Estática

No regime quase estático (\(\epsilon\omega \ll \sigma\)), o número de onda simplifica para:

\[k \approx \sqrt{- i \mu \sigma \omega}\]

onde pode ser mostrado que:

\[\alpha = \beta = \left ( \frac{\omega \mu \sigma}{2} \right ) ^{1/2}\]

Neste caso, ondas EM oscilam e decaem quando se propagam.

Aproximação de Regime de Onda

No regime de onda (\(\epsilon\omega \gg \sigma\)), o número de onda simplifica para:

\[k \approx \alpha = \sqrt{\mu \epsilon \omega^2} = \omega \sqrt{\mu \epsilon}\]

e

\[\beta \approx \frac{\sigma}{2} \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \sim 0\]

Para uma equação de onda perfeita, \(\beta = 0\) e as ondas não diminuem em amplitude à medida que se propagam. Em problemas geofísicos (radar de penetração no solo por exemplo), os sinais ainda sofrem perda de amplitude à medida que se propagam pela Terra.