Lei de Gauss para Campos Magnéticos

Figura 32 Quando uma barra magnetizada é cortada em dois, você consegue duas barras magnetizadas.

A lei de Gauss para o magnetismo afirma que não existe monopólo magnético e que o fluxo total através de uma superfície fechada deve ser zero. Esta página descreve o formas integrais e diferenciais no domínio do tempo da lei de Gauss para o magnetismo e como a lei pode ser derivada. A equação no domínio da frequência também é fornecida. No final da página, uma breve história da lei de Gauss para o magnetismo é fornecida.

Equação Integral

A lei de Gauss para campos magnéticos na forma integral é dada por:

(52)\[\oint_S \mathbf{b} \cdot \mathbf{da} = 0,\]

onde:

• \(\mathbf{b}\) is the magnetic flux

A equação afirma que não há fluxo magnético efetivo \(\mathbf{b}\) (que pode ser pensado como o número de linhas de campo magnético através de um área) que passa por uma superfície fechada arbitrária \(S\). Isso significa o número de linhas de campo magnético que entram e saem por esta superfície \(S\) é o mesmo. Isso é explicado pelo conceito de um ímã que tem um pólo norte e um pólo sul, onde a força do pólo norte é igual à força do pólo sul (Figura 32). Isto é equivalente a dizer que um monopolo magnético, ou seja, um norte solitário ou pólo sul, não existe porque para cada pólo magnético positivo, existe deve ser uma quantidade igual de pólos magnéticos negativos.

Equação Diferencial

A lei de Gauss para campos magnéticos na forma diferencial pode ser derivada usando o teorema da divergência. O teorema da divergência afirma:

\[\int_V (\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{f}) dv = \oint_S \mathbf{f} \cdot \mathbf{da},\]

onde \(\mathbf{f}\) é um vetor. O lado direito é muito semelhante à Equação (52). Usando o teorema da divergência, Equação (52) é reescrito da seguinte forma:

(53)\[0 = \oint_S \mathbf{b} \cdot d\mathbf{a} = \int_V ( \nabla \cdot \mathbf{b} ) dv.\]

Como a expressão é definida como zero, o integrando \((\nabla\cdot\mathbf{b})\) deve ser zero também. Assim, a forma diferencial da lei de Gauss torna-se:

(54)\[\nabla \cdot \mathbf{b} = 0.\]

Derivação usando a lei de Bio-Savart

A lei de Gauss pode ser derivada usando Biot-Savart law, que é definida como:

(55)\[\mathbf{b}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V \frac{(\mathbf{j} (\mathbf{r'}) dv) \times ~\mathbf{\hat{\underline{r}}}}{\lvert \mathbf{r} - \mathbf{r'} \rvert ^2},\]

onde:

• \(\mathbf{b}(\mathbf{r})\) is the magnetic flux at the point \(\mathbf{r}\)

• \(\mathbf{j}(\mathbf{r'})\) is the current density at the point \(\mathbf{r'}\)

• \(\mu_0\) is the magnetic permeability of free space.

Tomando a divregência de ambos os lados da Equação (55) teremos:

(56)\[\nabla \cdot \mathbf{b}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V \nabla \cdot \frac{(\mathbf{j} (\mathbf{r'}) dv) \times ~\mathbf{\hat{\underline{r}}}}{\lvert \mathbf{r} - \mathbf{r'} \rvert ^2}.\]

Para aplicar a divergência no integrando da Equação (56), a seguinte identidade vetorial é usada:

\[\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}).\]

Assim, o integrando torna-se:

(57)\[\left[ \mathbf{j} (\mathbf{r'}) \cdot \left( \nabla \times \frac{~\mathbf{\hat{\underline{r}}}}{\lvert \mathbf{r} - \mathbf{r'} \rvert ^2} \right) \right] - \left[ \frac{~\mathbf{\hat{\underline{r}}}}{\lvert \mathbf{r} - \mathbf{r'} \rvert ^2} \cdot \left( \nabla \times \mathbf{j} (\mathbf{r'}) \right) \right]\]

A primeira parte da Equação (57) é zero como o roatcional de \(\frac{~\mathbf{\hat{\underline{r}}}}{\lvert\mathbf{r} -\mathbf{r'} \rvert^2}\) é zero. A segunda parte da Equação (57) torna-se zero porque \(\mathbf{j}\) depende de \(r'\) e \(\nabla\) depende apenas de \(r\). Conectando isso de volta em (56), o lado direito da expressão torna-se zero. Assim, vemos que:

\[\nabla \cdot \mathbf{b}(\mathbf{r}) = 0,\]

que é a lei de Gauss para o magnetismo na forma diferencial.

Equação diferencial no domínio da frequência

A equação também pode ser escrita no domínio da frequência como:

(58)\[\nabla \cdot \mathbf{B} = 0.\]

Unidades

Fluxo magnético	\(\mathbf{b}\)	T	tesla
Densidade de corrente elétrica	\(\mathbf{j}\)	\(\frac{\text{A}}{\text{m}^2}\)	ampere por metro quadrado

Constantes

Constante Magnética | \(\mu_0 = 4\pi ×10^{−7} \frac{\text{N}}{\text{A}^2} \approx 1.2566370614...×10^{-6} \frac{\text{T}\cdot \text{m}}{\text{A}}\)

Descobridores da lei

A lei de Gauss para o magnetismo é uma aplicação física do teorema de Gauss (também conhecido como teorema da divergência) no cálculo, que foi independentemente descoberto por Lagrange em 1762, Gauss em 1813, Ostrogradsky em 1826 e Green em 1828. A lei de Gauss para o magnetismo simplesmente descreve um fenômeno físico que um monopolo magnético não existe na realidade. Portanto, esta lei também é chamada “ausência de pólos magnéticos livres”.

Há tempos pessoas percebiam que, quando uma barra magnética é dividida em duas peças, dois pequenos ímãs são criados com seus próprios pólos sul e norte. Isso pode ser explicado pela lei circuital de Ampère: a barra magnética é feita de muitos anéis de correntes circulares, cada um dos quais essencialmente um dipolo magnético; o magnetismo macroscópico é do alinhamento do microscópio dipolos magnéticos. Porque um pequeno anel de corrente sempre gera um equivalente dipolo magnético, não há como gerar uma carga magnética livre. Até agora não monopolo magnético f oi encontrado em experimentos, apesar de muitos teóricos acreditam que existe um monopolo magnético e ainda estão procurando por ele.

No entanto, como apontado por Pierre Curie em 1894, monopolos magnéticos podem existir concebivelmente. Apresentando cargas magnéticas fictícias as equações de Maxwell podem levar à lei de Gauss para o magnetismo a mesma aparência que a de lei de Gauss para eletricidade, e a matemática pode se tornar simétrica.