Lei de Gauss para campos elétricos

Figura 30 Carga encerrada por uma superfície

A lei de Gauss para o campo elétrico descreve o campo elétrico estático gerado por uma distribuição de cargas elétricas. Ela afirma que o fluxo elétrico através de qualquer superfície fechada é proporcional à carga elétrica total envolvida por esta superfície. Por convenção, uma carga elétrica positiva gera um campo elétrico positivo que sai da superfície. A lei foi publicada postumamente em 1867 como parte de uma coleção de trabalhos do famoso matemático alemão Carl Friedrich Gauss.

Equação de Gauss na forma integral

A lei de Gauss na forma integral é daddo por:

(38)\[\int_V \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{e} \; ~dv =\oint_{S} \mathbf{e} \cdot \hat{\mathbf{n}} \; ~da = \frac{Q}{ \varepsilon_{0} }\;,\]

onde:

• \(\mathbf{e}\) é o campo elétrico

• \(Q\) é a carga elétrica encerrada por uma superfície

• \(\varepsilon_0\) é a permissividade elétrica do espaço livre

• \(\hat{\mathbf{n}}\) é vetor unitário normal a superfície apontada para fora

Fluxo é uma medida da força de um campo que passa por uma superfície. Fluxo elétrico é definido em geral como

(39)\[\boldsymbol{\Phi} = \int_S \mathbf{e} \cdot \hat{\mathbf{n}} \, \mathrm{d}a.\]

Podemos pensar no campo elétrico como densidade de fluxo. A lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico efetivo através de qualquer superfície fechada é zero, a menos que o volume limitado por essa superfície contém uma carga efetiva.

Forma Diferencial

Ao considerar um corpo carregado espacialmente estendido, podemos pensar em sua carga como sendo continuamente distribuído por todo o corpo com densidade : math:rho. A carga total é então dada pela integral da carga densidade sobre o volume do corpo.

(40)\[Q = \int_V \rho \; \mathrm{d}v\;.\]

Usando esta definição e aplicando o teorema da divergência no lado esquerda da lei de Gauss (38), podemos reescrever a lei como:

(41)\[\int_V \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{e} \; \mathrm{d}v = \int_V \frac{\rho}{\varepsilon_0} \; \mathrm{d}v \;.\]

Uma vez que esta equação deve valer para qualquer volume \(V\), podemos igualar o integrantes, dando a forma diferencial da lei de Gauss:

(42)\[\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{e} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.\]

Pode-se mostrar que a lei de Gauss para campos elétricos é equivalente à de Coulomb lei

Lei de Gauss na matéria

A lei de Gauss para campos elétricos é mais facilmente entendida negligenciando (\(\mathbf{d}\)). Na verdade, a permissividade dielétrica pode não ser igual à permissividade do espaço livre (ou seja \(\varepsilon \neq \varepsilon_0\)). Na matéria, a densidade de cargas elétricas pode ser separada em uma densidade de carga “livre” (\(\rho_f\)) e uma densidade de carga “limitada” (\(\rho_b\)), de modo que:

(43)\[\rho = \rho_f + \rho_b\]

A densidade de carga livre se refere a cargas que fluem livremente sob a aplicação de um campo elétrico; ou seja, eles produzem uma corrente que é livre de divergência. A densidade de carga limitada se refere a cargas elétricas atribuídas à polarização elétrica (\(\mathbf{p}\)). Ao combinar as Equações (42) e (43) com nossa definição para polarização elétrica, descobrimos que:

(44)\[\nabla \cdot \mathbf{d} - \nabla \cdot \mathbf{p} = \rho_f + \rho_b\]

Usando a relação constitutiva \(\mathbf{d} = \varepsilon\mathbf{e}\) e separando a equação anterior em contribuições limitadas e livres, descobrimos que:

(45)\[-\nabla \cdot \mathbf{p} = \rho_b\]

e

(46)\[\nabla \cdot \mathbf{d} = \rho_f\]

A equação acima é a forma diferncial da equação de Gauss em meio material. Emquanto que, a forma integral da equação de Gauss em meio material é dado por:

\[\int_V \nabla \cdot \mathbf{d} \; dV = \oint_S \mathbf{d} \cdot \mathbf{\hat n} \; da = Q_f\]

onde \(Q_f\) é a carga total livre encerrada pela superfície.

Unidades

Área da superfície	\(\text{S}\)	m \(\! ^{2}\)	metro quadrado
Volume	\(V\)	m \(\! ^{3}\)	metro cúbico
Carga elétrica	\(q, Q, Q_f\)	C	Coulomb
Densidade de carga elétrica	\(\rho, \rho_f, \rho_b\)	C/m \(\! ^{3}\)	Coulomb por metro cúbico
Campo elétrico	\(\mathbf{e}\)	V/m	Volt por metro
Deslocamento elétrico	\(\mathbf{d}\)	A/m \(\! ^{2}\)	Volt por metro
Permissividade dielétrica	\(\varepsilon\)	F/m	Farad por metro

Conversões

\[\varepsilon_0 = \frac{\text{F}}{\text{m}} = \frac{\text{C}}{\text{V} \cdot \text{m}}.\]