Ondas Planas em uma Terra com N Camadas

Objetivo

Aqui, consideramos um caso especial da solução de onda plana para uma Terra com N camadas. Nossa derivação segue aquela encontrada em [WH88]. Este exemplo é um primeiro passo para entender como a estrutura da Terra e as propriedades físicas impactam os campos elétricos e magnéticos medidos na superfície.

Figura 60 Geometria para o caso de N camadas.

Considere as ondas planas ascendentes e descendentes que normalmente incidem em uma Terra isotrópica com N camadas. Assumiremos que os campos elétricos associados a essas ondas são polarizados ao longo da direção \(x\); assim, os campos magnéticos são polarizados ao longo da direção \(y\). A seguir, desenvolveremos um esquema para determinar os campos elétricos e magnéticos em qualquer uma das camadas. Além disso, iremos caracterizar a relação entre os componentes perpendiculares do campo elétrico e magnético na superfície da Terra.

Campos na j-ésima camada

Na j-ésima camada, temos ondas ascendentes e descendentes resultantes de transmissões e reflexos dentro da Terra. O campo elétrico tem a seguinte forma:

Figura 61 Notação para ondas ascendentes e descendentes na camada j.

(171)\[E_{x,j}(\omega ,z) = U_j e^{-ik_j (z-z_j)} + D_j e^{ik_j (z-z_j)}\]

onde \(z_j\) denota a localização inferior da j-ésima camada. \(U_j\) e \(D_j\) são amplitudes de campo elétrico da onda ascendente e descendente na parte inferior da j-ésima camada, respectivamente. De acordo com a teoria apresentada para Ondas EM em meios homogêneos, a relação entre o campo elétrico e o campo magnético é dada por:

(172)\[\frac{\partial E_x}{\partial z} + i\omega \mu H_y = 0\]

Como um resultado, o campo magnético na j-ésima camada é dado por

(173)\[H_{y,j} (\omega ,z) = \frac{1}{Z_j} \bigg [ U_j e^{-ik_j (z-z_j)} - D_j e^{ik_j (z-z_j)} \bigg ]\]

onde a impedância de onda para a camada \(j\) é dado por:

(174)\[Z_j = \frac{\omega \mu_j}{k_j}\]

Usando as Equações (171) and (173), os campos elétricos e magnéticos na parte inferior da j-ésima camada podem ser representados usando o sistema a seguir.Onde \(z = z_j\):

(175)\[\begin{split}\begin{bmatrix} E_{x,j} \\ H_{y,j} \end{bmatrix} \Bigg |_{z=z_j} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \frac{1}{Z_j} & -\frac{1}{Z_j} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_j \\ D_j \end{bmatrix} = \mathbf{P_j} \begin{bmatrix} U_j \\ D_j \end{bmatrix}\end{split}\]

Em qualquer local dentro da camada, os campos elétricos e magnéticos são dados por:

(176)\[\begin{split}\begin{bmatrix} E_{x,j} \\ H_{y,j} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \frac{1}{Z_j} & -\frac{1}{Z_j} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e^{-ik_j (z-z_j)} & 0 \\ 0 & e^{ik_j(z-z_j)} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_j \\ D_j \end{bmatrix}\end{split}\]

As amplitudes do campo elétrico no topo da j-ésima camada (\(U_j^\prime\) e \(D_j^\prime\)), pode ser determinadas de \(U_j\) e \(D_j\) usando as seguintes expressões:

(177)\[\begin{split}\begin{bmatrix} U_j^\prime \\ D_j^\prime \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{-ik_j h_j} & 0 \\ 0 & e^{ik_j h_j} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U_j \\ D_j \end{bmatrix} = \boldsymbol{\Lambda_j} \begin{bmatrix} U_j \\ D_j \end{bmatrix}\end{split}\]

onde \(h_j\) é a espessura da j-ésima camada. Agora que relacionamos os campos e amplitudes entre si em uma camada específica, como podemos resolver os campos em uma camada se apenas os campos em uma camada diferente são conhecidos.

Condições de Interfaces

Vamos supor que conhecemos as amplitudes do campo elétrico \(U_{j+1}\) e \(D_{j+1}\). Queremos encontrar as amplitudes das ondas na j-ésima camada ( \(U_{j}\) e \(D_{j}\)) para que possamos encontrar os campos de acordo com a Equação (176).

De acordo com as condições de interface correspondentes às ondas planas, os componentes do campo elétrico paralelo à interface são contínuos. O mesmo é verdade para o campo magnético. Assim, em \(z = z_j\):

(178)\[\begin{split}\begin{bmatrix} E_{x,j} \\ H_{y,j} \end{bmatrix} \Bigg |_{z=z_j} = \mathbf{P_j} \begin{bmatrix} U_j \\ D_j \end{bmatrix} = \mathbf{P_{j+1}} \begin{bmatrix} U_{j+1}^\prime \\ D_{j+1}^\prime \end{bmatrix}\end{split}\]

Usando as Equações (175), (177) e (178), podemos relacionar os campos elétrico e magnético no topo da camada j+1 àqueles no topo da camada j:

(179)\[\begin{split}\begin{bmatrix} E_{x,j} \\ H_{y,j} \end{bmatrix} \Bigg |_{z=z_{j-1}} = \mathbf{P_j} \boldsymbol{\Lambda_j} \mathbf{P_j^{-1}} \begin{bmatrix} E_{x,j+1} \\ H_{y,j+1} \end{bmatrix} = \mathbf{T_j} \begin{bmatrix} E_{x,j+1} \\ H_{y,j+1} \end{bmatrix} \Bigg |_{z=z_j}\end{split}\]

Da mesma forma, as amplitudes do campo elétrico no topo da camada j e no topo da camada j+1 estão relacionados por:

(180)\[\begin{split}\begin{bmatrix} U_j^\prime \\ D_j^\prime \end{bmatrix} = \boldsymbol{\Lambda_j} \mathbf{P_j^{-1}} \mathbf{P_{j+1}} \begin{bmatrix} U_{j+1}^\prime \\ D_{j+1}^\prime \end{bmatrix} = \mathbf{S_j} \begin{bmatrix} U_{j+1}^\prime \\ D_{j+1}^\prime \end{bmatrix}\end{split}\]

Solução Recursiva para N-camadas

Consideremos o caso em que estamos na superfície da Terra e medimos as componentes perpendiculares dos campos elétrico e magnético; ou seja \(E_{x,0}\) e \(H_{y,0}\) em \(z=0\). De acordo com as condições de interface, elas são idênticas aos campos elétrico e magnético no topo da camada 1; ou seja \(E_{x,1}\) e \(H_{y,1}\) em \(z=0\). Em termos de ampliação do campo elétrico ascendente e descendente:

(181)\[\begin{split}\begin{bmatrix} E_{x} \\ H_{y} \end{bmatrix} \Bigg |_{z=0} = \mathbf{P_1} \begin{bmatrix} U_1^\prime \\ D_1^{\, \prime} \end{bmatrix}\end{split}\]

Em termos de ondas ascendentes e descendentes na camada 2, a expressão anterior pode ser reescrita como:

(182)\[\begin{split}\begin{bmatrix} E_{x} \\ H_{y} \end{bmatrix} \Bigg |_{z=0} = \mathbf{P_1 S_1} \begin{bmatrix} U_2^\prime \\ D_2^{\, \prime} \end{bmatrix}\end{split}\]

Este processo pode ser repetido para cada camada. Em última análise, os campos elétricos e magnéticos na superfície da Terra podem ser expressos como:

(183)\[\begin{split}\begin{bmatrix} E_{x} \\ H_{y} \end{bmatrix} \Bigg |_{z=0} = \mathbf{P_1} \prod_{j=1}^N \mathbf{S_j} \begin{bmatrix} 0 \\ D_{N+1}^{\, \prime} \end{bmatrix} = \mathbf{M} \begin{bmatrix} 0 \\ D_{N+1}^{\, \prime} \end{bmatrix}\end{split}\]

Observe como não há onda ascendente no meio inferior. Isso faz sentido supondo que não haja nenhuma fonte ou refletor capaz de criar um sinal de retorno. Se amalgamarmos o produto de todas as matrizes em uma única matriz \(\mathbf{M}\), então:

(184)\[E_x \big |_{z=0} = M_{12} D_{N+1}^{\, \prime}\]

e

(185)\[H_y \big |_{z=0} = M_{22} D_{N+1}^{\, \prime}\]

As relações entre \(E_x\) e \(H_y\) na superfície da Terra é desta foema dada por:

(186)\[Z = \frac{E_x}{H_y} = \frac{M_{12}}{M_{22}}\]

A Equação (186) nos diz que a relação entre as componentes perpendiculares dos campos elétricos e magnéticos na superfície da Terra, em uma determinada frequência, dependem das propriedades físicas de todas as camadas. No entanto, a natureza exponencial das matrizes \(\boldsymbol{\Lambda_j}\) dentro de \(\mathbf{S_j}\) sugere que o impacto de camadas mais profundas em \(Z\) é menor do que para as camadas rasas. Este resultado é muito importante quando se considera métodos magnetotelúricos (MT).

Impedância para um semi-espaço

No caso em que a Terra é um semi-espaço homogêneo:

(187)\[\begin{split}\mathbf{M} = \mathbf{P_1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \frac{1}{Z_1} & -\frac{1}{Z_1} \end{bmatrix}\end{split}\]

onde

(188)\[Z_1 = \frac{\omega \mu_1}{k_1}\]

e assim:

(189)\[\begin{split}\frac{E_x}{H_y} = \frac{M_{12}}{M_{22}} = - \frac{\omega\mu_1}{k_1} = -\frac{\omega \mu_1}{\sqrt{-i\omega\mu_1\sigma_1 + \omega^2\mu_1\varepsilon_1}} = \begin{cases} -\sqrt{\dfrac{i\omega\mu_1}{\sigma_1}} \;\; \textrm{for} \;\; \sigma \gg \omega\varepsilon \\ -\sqrt{\dfrac{\mu_1}{\varepsilon_1}} \;\;\;\;\,\;\; \textrm{for} \;\; \sigma \ll \omega\varepsilon \end{cases}\end{split}\]

O significado físico disso foi explicado durante o material sobre impedância e fase para ondas planas em meios homogêneos.