Derivação

Solução Geral para uma Onda Plana

Figura 50 Geometria de uma onda plana propagando-se para baixo.

Para obter uma solução para ondas planas EM em um meio homogêneo, vamos começar com as seguintes equações de onda vetorial para \(\mathbf {e}\) e \(\mathbf {h}\):

(127)\[\begin{split}\boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{e} - \mu\epsilon \frac{\partial^2 \mathbf{e}}{\partial t^2} - \mu\sigma \frac{\partial \mathbf{e}}{\partial t} &= 0\\ \boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{h} - \mu\epsilon \frac{\partial^2 \mathbf{h}}{\partial t^2} - \mu\sigma \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial t} &= 0\end{split}\]

Para simplificar, vamos supor que a onda do plano se propague ao longo da direção z. De acordo com Griffiths [Gri99] (pp. 378), os campos elétricos e magnéticos suportados por uma onda plana são transversais à direção de propagação; assim, os campos elétricos e magnéticos estão no plano xy. Neste caso, a equação governante para o campo elétrico simplifica para:

\[\frac{\partial^2 \mathbf{e}}{\partial z^2} - \mu\epsilon \frac{\partial^2 \mathbf{e}}{\partial t^2} - \mu\sigma \frac{\partial \mathbf{e}}{\partial t} = 0\]

onde \(\mathbf{e} \equiv \mathbf{e}(z,t)\); portanto, não depende de x ou y. A fim de fornecer as condições iniciais para o PDE, deixe que o campo elétrico seja causado um impulso tal que nossas condições iniciais sejam dadas por:

(128)\[\mathbf{e}(t=0)=\mathbf{E}_0\delta(t)\]

onde \(\delta(t)\) é a função Delta de Dirac em \(t=0\). Em vez de resolver o PDE dependente do tempo diretamente, aplicaremos a transformada de Laplace inversa a soluções analíticas derivadas do domínio da frequência:

(129)\[\mathbf{E} = \mathbf{E}_0^- e^{ikz} + \mathbf{E}_0^+ e^{-ikz}\]

em que \(E_0^-\) e \(E_0^+\) são as amplitudes vetoriais de ondas descendentes e ascendentes, respectivamente. Observe que o termo harmônico \(e^ {-i\omega t}\) está sendo suprimido. A solução no domínio do tempo para uma excitação por impulso pode ser expressa como:

\[\mathbf{e}(t) = \mathcal{F}^{-1}[\mathbf{E}(\omega)]\]

onde \(\mathcal{F}[\cdot]\) é a Transformada de Fourier. Modificada de [WH88], a solução correspondente no domínio do tempo para a equação de onda é:

(130)\[\begin{split}\mathbf{e}(t) =& \mathbf{E}_0^- \Bigg ( e^{a(z/c)} \delta \bigg ( t+\frac{z}{c} \bigg ) -\frac{aze^{-at}}{c \big ( t^2-\frac{z^2}{c^2} \big)^{1/2}} I_1 \Bigg [ a \bigg ( t^2-\frac{z^2}{c^2} \bigg )^{1/2} \Bigg ] u \bigg ( t+\frac{z}{c} \bigg ) \Bigg ) \\ &+ \mathbf{E}_0^+ \Bigg ( e^{-a(z/c)} \delta \bigg ( t-\frac{z}{c} \bigg ) +\frac{aze^{-at}}{c \big ( t^2-\frac{z^2}{c^2} \big)^{1/2}} I_1 \Bigg [ a \bigg ( t^2-\frac{z^2}{c^2} \bigg )^{1/2} \Bigg ] u \bigg ( t-\frac{z}{c} \bigg ) \Bigg )\end{split}\]

onde

• \(u(t)\) é função degrau de heaviside

• \(I_1(x)\) é a função de Bessel modificada de primeira espécie

• \(a=\dfrac{\sigma}{2\epsilon}\)

• \(c=\dfrac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}}\)

Ambas as ondas subindo e descendo têm dois termos. O primeiro termo, contendo a função delta de Dirac, é o termo de onda. O segundo termo é o termo de difusão. Constantes \(a\) e \(c\) controlam as propriedades de onda e difusão da onda plana.

No caso em que a onda EM foi causada por um impulso correspondente às condições iniciais \(\mathbf{h}(t=0) = \mathbf{H_0}\delta(t)\), a solução geral para o campo magnético seria dado por:

(131)\[\begin{split}\mathbf{h}(t) =& \mathbf{H}_0^- \Bigg ( e^{a(z/c)} \delta \bigg ( t+\frac{z}{c} \bigg ) -\frac{aze^{-at}}{c \big ( t^2-\frac{z^2}{c^2} \big)^{1/2}} I_1 \Bigg [ a \bigg ( t^2-\frac{z^2}{c^2} \bigg )^{1/2} \Bigg ] u \bigg ( t+\frac{z}{c} \bigg ) \Bigg )\\ &+ \mathbf{H}_0^+ \Bigg ( e^{-a(z/c)} \delta \bigg ( t-\frac{z}{c} \bigg ) +\frac{aze^{-at}}{c \big ( t^2-\frac{z^2}{c^2} \big)^{1/2}} I_1 \Bigg [ a \bigg ( t^2-\frac{z^2}{c^2} \bigg )^{1/2} \Bigg ] u \bigg ( t-\frac{z}{c} \bigg ) \Bigg )\end{split}\]

Note que as Equações (130) e Eq. (131) tem exatamente a mesma forma.

Note

As Equações (130) e (131) ainda são soluções gerais, já que apenas as condições iniciais foram aplicadas. Para determinar \(\mathbf{E}_0^-\) e \(\mathbf{E}_0^+\) ou \(\mathbf{H}_0^-\) e \(\mathbf{H}_0^+\), você deve invocar um conjunto de condições de contorno. Por exemplo, \(\mathbf{e}(z\rightarrow -\infty, t) = 0\) além de \(\mathbf{e}(t = 0) = \mathbf{E}_0 \delta(t)\) resulta em um campo elétrico de propagação para baixo.

Derivação das Equações para o aplicativo

Figura 51 Diagrama de configuração da propagação da onda EM plana indo para baixo (negativo \(z\)).

O aplicativo simula a propagação para baixo de uma onda plana EM devido a uma corrente impulsiva. Como podemos ver em Figura 51, a onda do plano é polarizada de forma que a onda plana do campo elétrico fique ao longo da direção x e o campo magnético fique ao longo da direção y. Fisicamente, podemos pensar nesta onda como sendo causada por uma corrente de impulso horizontal \(\mathbf{I}(t)=I_0 \delta(t)\mathbf{u_x}\), onde \(\mathbf{u_x}\) é o vetor unitário na direção x.

Para o aplicativo, consideramos apenas a aproximação quase estática da Equação (130). Isso pode ser obtido tomando a transformada de Laplace inversa da solução harmônica correspondente tal que \(k=\sqrt{-i\omega\mu\sigma}\), ou seja:

(132)\[\mathbf{E} (z,\omega) = E_x (z,\omega) \, \mathbf{u_x} = E_{x,0}^{-} e^{i\sqrt{-i\omega\mu\sigma}z} \mathbf{u_x}\]

onde \(E_x\) é uma função escalar e \(E_{x,0}^{-}\) é a amplitude escalar do campo elétrico. Se substituirmos \(s=i\omega\), a transformação de Laplace inversa de \(E_x(z,w)\) torna-se:

(133)\[\mathcal{L}^{-1}[E_x (z,\omega)] = \mathcal{L}^{-1} \Bigg [ E_{x,0}^- \, e^{- \sqrt{\mu\sigma s} z} \Bigg ]\]

Se usarmos a identidade ([AS65]):

\[\mathcal{L}^{-1} \Bigg [ e^{-\alpha \sqrt{s}} \Bigg ] = \frac{\alpha}{2 \pi^{1/2} t^{3/2}} e^{-\alpha^2/4t} \;\;\; \textrm{for} \;\;\; \alpha \geq 0\]

a solução quase estática para o campo elétrico em \(t> 0\) é dada por:

(134)\[\mathbf{e}(t) = e_x(t) \mathbf{u_x} = E_{x,0}^- \frac{\big (\mu\sigma)^{1/2} z}{2\pi^{1/2} t^{3/2}} \, e^{-\mu\sigma z^2/4t} \, \mathbf{u_x}\]

Da mesma forma, a solução para o campo magnético pode ser obtida tomando a transformada de Laplace inversa da solução harmônica correspondente tal que \(k = \sqrt{-i\omega\mu\sigma}\).

\[\mathcal{L}^{-1}[H_y (z,\omega)] = \mathcal{L}^{-1} \Bigg [ - \frac{ik}{i\omega \mu} E_{x,0}^- \, e^{ikz} \Bigg ] = \mathcal{L}^{-1} \Bigg [ - \sqrt{ \dfrac{\sigma}{\mu s}} E_{x,0}^- \, e^{- \sqrt{\mu\sigma s} z} \Bigg ]\]

onde \(k = \sqrt{-i\omega\mu\sigma}\), substituimos \(s = i\omega\) e fazemos \(\sqrt{-1} = -i\). Se seguimos a seguimos a seguinte identidade [AS65]:

\[\mathcal{L}^{-1} \Bigg [ \frac{1}{\sqrt{s}} e^{-\alpha \sqrt{s}} \Bigg ] = \frac{1}{\sqrt{\pi t}} e^{-\alpha^2/4t} \;\;\; \textrm{for} \;\;\; \alpha \geq 0\]

a solução quase estática para o campo magnético é dada por:

\[\mathbf{h}(t) = h_y(t) \mathbf{u_y} = -E_{x,0}^- \sqrt{\dfrac{\sigma}{\pi\mu t}}\, e^{-\mu\sigma z^2/4t} \, \mathbf{u_y}\]

onde \(\mathbf{u_y}\) é o vetor unitário na direção y.