Derivação

Solução Geral para uma Onda Plana

Figura 41 Geometria de uma onda plana propagando-se para baixo.

Para obter uma solução para ondas planas EM em um meio homogêneo, vamos começar com as seguintes equações vetoriais de Helmholtz para \(\mathbf{E}\) e \(\mathbf{H}\):

(116)\[\begin{split}\boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{E} + k^2 \mathbf{E} &= 0\\ \boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{H} + k^2 \mathbf{H} &= 0\end{split}\]

onde o número de onda complexo é dado por:

(117)\[k = \sqrt{\mu \epsilon \omega^2 - i \mu \sigma \omega}\]

Para simplificar, vamos supor que a onda plana se propague ao longo da direção \(z\). De acordo com Griffiths [Gri99] (pp. 378), os campos elétricos e magnéticos suportados por uma onda plana são transversais à direção de propagação; assim, os campos elétricos e magnéticos estão no plano \(xy\). Neste caso, a equação governante para o campo elétrico simplifica para:

(118)\[\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial z^2} + k^2 \mathbf{E} = 0\]

onde \(\mathbf{E} \equiv \mathbf{E}(z,\omega)\); assim ela não depende nem de \(x\) ou \(y\). A equação anterior tem uma solução geral na forma:

(119)\[\mathbf{E} = \mathbf{E}_0^- \, e^{i(kz-\omega t)} + \mathbf{E}_0^+ \, e^{-i(kz + \omega t)}\]

onde \(\mathbf{E}_0^-\) e \(\mathbf{E}_0^+\) são as amplitudes do vetores of para baixo e para cima, respectivamente. A exponencial \(e^{-i\omega t}\) em ambos os termos controla a fase temporal. O número de onda complexo tem as ambas componentes real e imagnária. Dessa forma ela pode ser expressada como:

(120)\[k = \alpha - i\beta\]

em que \(\alpha \geq 0\) e \(\beta \geq 0\) dependem da frequência e das propriedades físicas do meio. Substituindo a Equação (120) na Equação (119), a solução para nossa equação da onda para \(\mathbf{E}\) e torna-se:

(121)\[\mathbf{E} = \mathbf{E}_0^- \, e^{\beta z} e^{i(\alpha z -\omega t)} + \mathbf{E}_0^+ \, e^{-\beta z} e^{-i (\alpha z + \omega t)}\]

Para as ondas descendentes e ascendentes, existem dois comportamentos importantes na solução. O primeiro termo, que contém \(e^{\pm i \alpha z}\), controla o comportamento oscilatório (ou seja comprimento de onda) e velocity de cada onda. O segundo termo, que contém \(e^{\pm \beta z}\), controla o comportamento de decaimento (ou seja atenuação) de cada onda. Observe que como \(z\rightarrow -\infty\) para a onda descendente, sua amplitude vai a zero. O mesmo comportamento ocorre para a onda ascendente como \(z \rightarrow \infty\).

Usando a mesma abordagem na equação de Helmholtz para \(\mathbf{H}\), o campo magnético tem uma solução geral da forma:

(122)\[\begin{split}\mathbf{H} &= \mathbf{H}_0^- \, e^{i(kz-\omega t)} + \mathbf{H}_0^+ \, e^{-i(kz+\omega t)}\\ &= \mathbf{H}_0^- \, e^{\beta z} e^{i(\alpha z-\omega t)} + \mathbf{H}_0^+ \, e^{-\beta z} e^{-i (\alpha z+\omega t)}\end{split}\]

Note

A Equação (121) ainda é uma solução geral. Para determinar \(\mathbf{E}_0^-\) e \(\mathbf{E}_0^+\) explicitamente, você deve invocar um conjunto de condições de contorno. Por exemplo, \(\mathbf{E}(z \rightarrow -\infty, \omega) = 0\) e \(\mathbf{E}(z = 0, \omega) = \mathbf{E}_0\). Isso lhe daria uma solução \(\mathbf{E} (z,\omega) = \mathbf{E}_0 \, e^{\beta z} e^{i(\alpha z - \omega t)}\) (ou seja, apenas a onda descendente). A partir desta solução, \(\mathbf{H}(z,\omega)\) pode ser determinada usando a lei de Faraday. Você também pode invocar condições de contorno para resolver para \(\mathbf{H}\) e usar a lei de Ampère-Maxwell para obter \(\mathbf{E}\).

Derivação Matemática para o Aplicativo

Figura 42 Propagação da onda plana descedente modelada pelo app.

O aplicativo simula a propagação descendente de uma onda plana EM. Como podemos ver em Figura 42, a onda do plana é polarizada de forma que o campo elétrico fique ao longo da direção \(x\) e o campo magnético fique ao longo da direção \(y\). Fisicamente, podemos pensar nesta onda como sendo causada por uma folha horizontal de corrente harmônica \(\mathbf{I} (\omega) = I_x \, \textrm{cos}(\omega t) \mathbf{u_x}\), onde \(\mathbf{u_x}\) é o vetor unitário na direção \(x\).

Para resolver o campo elétrico, começamos com a solução geral da Equação (121):

\[\mathbf{E} (z,\omega) = \mathbf{E}_0^- e^{ikz} + \mathbf{E}_0^+ e^{-ikz}\]

onde \(\mathbf{E}_0^-\) e \(\mathbf{E}_0^+\) são as amplitudes das ondas descendentes e ascendentes, respectivamente. Dado que estamos apenas modelando a onda descendente e o campo elétrico correspondente possui apenas componentes na direção \(x\), nossa solução assume a forma:

\[\mathbf{E} (z,\omega) = E_x (z,\omega) \, \mathbf{u_x} = E_{x,0}^{-} e^{ikz} \mathbf{u_x}\]

onde \(E_x\) é uma função escalar e \(E_{x,0}^{-}\) é a amplitude escalar do campo elétrico. Usando a Lei de Faraday, podemos confirmar que o campo magnético correspondente tem apenas componentes na direção \(y\), onde:

\[\frac{\partial E_x}{\partial z} + i \omega \mu H_y = 0\]

Solucionando para a componente \(y\) do campo magnético, obtemos:

\[H_y (z,\omega ) = H_{y,0}^- e^{ikz} = -\frac{k}{\omega \mu} E_{x,0}^- \, e^{ikz}\]

Assim:

\[\mathbf{H}(z,\omega) = H_y (z,\omega) \, \mathbf{u_y} = - \frac{k}{\omega \mu} E_{x,0}^- \, e^{ikz} \, \mathbf{u_y}\]

onde \(\mathbf{u_y}\) é o vetor unitário na direção \(y\).