Reflexão e Lei de Snell

Objetivo

Aqui, derivamos os ângulos de propagação das ondas refletidas e refratadas em uma interface horizontal. A lei de Snell é então usada para caracterizar o ângulo de refração em termos do número de onda complexo para ambos os meios.

Setup

Aqui, consideraremos a reflexão e a refração de uma onda plana uniforme, linearmente polarizada e homogênea em uma interface horizontal (Figura 56). A onda incidente está confinada ao plano xz. A interface é denotada por \(S\), tem um vetor normal \(\mathbf{\hat n}\) e separa dois meios homogêneas com propriedades físicas \(\sigma_1\), \(\mu_1\), \(\epsilon_1\) e \(\sigma_2\), \(\mu_2\), \(\epsilon_2\).

Para a configuração em Figura 56, a onda incidente (\(k_i\)) chega no ângulo \(\theta_i\). Uma vez que esta onda atinge a interface, ela se divide em duas partes, uma onda refletida (\(k_r\)) e uma onda transmitida (\(k_t\)). A onda transmitida experimenta uma mudança na direção de propagação, portanto é uma onda refratada. As ondas refletidas e refratadas viajam em direções caracterizadas por ângulos \(\theta_r\) e \(\theta_t\), respectivamente.

Figura 56 Geometria para lei de Snell. Modificada de [WH88] Figure 3.1.

Lei de Snell, Reflexão e Refração

Os ângulos de reflexão e refração (\(\theta_r\) e \(\theta_t\)) podem ser derivados considerando o campo elétrico ou o campo magnético transportado pela onda EM incidente. Aqui, derivaremos esses ângulos considerando um campo elétrico. As respectivas ondas incidentes, refletidas e refratadas são dadas por:

(137)\[\mathbf{E_i} = \mathbf{E_{i,0}} \, e^{-i \mathbf{k_i \cdot r}}, \;\;\; \mathbf{E_r} = \mathbf{E_{r,0}} \, e^{-i \mathbf{k_r \cdot r}}, \;\;\; \textrm{e} \;\;\; \mathbf{E_t} = \mathbf{E_{t,0}} \, e^{-i \mathbf{k_t \cdot r}}\]

onde \(\mathbf{k}\) é o vetor da onda (vetor de Poynting) para cada onda e:

(138)\[\mathbf{E \times H} = \mathbf{k}\]

Dentro das leis formativas, discutimos as condições de interface necessárias para campos elétricos e magnéticos. Elas afirmam que os componentes do campo elétrico paralelo à superfície \(S\) devem ser iguais em toda a interface. Como resultado:

(139)\[\mathbf{\hat n} \times \big ( \mathbf{E_i} + \mathbf{E_r} \big ) = \mathbf{\hat n} \times \mathbf{E_t}\]

Usando as três expressões anteriores, encontramos:

(140)\[\theta_i = \theta_r\]

e

(141)\[k_i \, \textrm{sin}\theta_i = k_t \, \textrm{sin}\theta_t\]

De acordo com a Equação (140), o ângulo refletido e o ângulo incidente em relação a \(\mathbf{\hat n}\) são os mesmos. A Equação (141) é conhecido como **Lei de Snell **. A lei de Snell define o ângulo de refração correspondente à onda transmitida. Assim, dependendo das propriedades físicas de cada meio, a onda transmitida pode ser refratada tanto na vertical quanto na horizontal.

Aproximações para a Lei de Snell

A definição mais comum da lei de Snell é dada por:

(142)\[k_1 \, \textrm{sin}\theta_1 = k_2 \, \textrm{sin}\theta_2\]

em que \(k_1\) é o número de onda para a onda incidente com ângulo \(\theta_1\) e \(k_1\) é o número de onda da onda refratada com ângulo \(\theta_2\). Aqui, discutimos algumas prpriedades da lei de Snell..

Regime Quase Estático

No regime quase estático (\(\sigma \gg \omega \varepsilon\)), o número de onda torna-se:

(143)\[k \approx \sqrt{-i \omega \mu \sigma}\]

Neste caso a lei de Snell se reduz para:

\[\sqrt{\mu_1 \sigma_1} \, \textrm{sin}\theta_1 = \sqrt{\mu_2 \sigma_2} \, \textrm{sin} \theta_2\]

Regime de Onda

No regime de onda (\(\sigma \ll \omega \varepsilon\)), o número de onda se torna:

(144)\[k \approx w \sqrt{\mu \varepsilon}\]

onde a velocidade da onda é dada por:

(145)\[V = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}\]

Usando as duas expressões anteriores, a lei de Snell no regime de ondas torna-se:

(146)\[\frac{V_1}{V_2} = \frac{sin \theta_1}{sin \theta_2}\]

Nesse caso, o ângulo de incidência e refração estão diretamente relacionados à velocidade de propagação das ondas EM em cada meio. Esta relação é especialmente importante quando se considera radar de penetração no solo.