Equações de Fresnel

Objetivo

Aqui, apresentamos expressões matemáticas que relacionam a geometria e amplitudes das ondas EM nas interfaces. Isso é feito separando o onda incidente em dois modos: o modo TE e o modo TM.Uma descrição física de cada modo é apresentada junto com uma derivação subsequente. Como as equações de Fresnel permitem nos permitir inter-relacionar como as amplitudes fazem \(\mathbf{E}\) e \(\mathbf{H}\) através da interface.

Setup

Aqui, vamos considerar uma reflexão e transmissão de uma onda plana uniforme, linearmente polarizada homogênea em uma interface horizontal

Aqui, consideraremos a reflexão e a transmissão de uma onda plana uniforme, linearmente polarizada e homogênea em uma interface horizontal (Figura 57). A onda incidente está confinada ao plano xz. A interface é denotada por \(S\), tem um vetor normal \(\mathbf{\hat n}\) e separa dois meios homogêneas com propriedades físicas \(\sigma_1\), \(\mu_1\), \(\epsilon_1\) e \(\sigma_2\), \(\mu _2\), \(\epsilon_2\).

Para a configuração em Figura 57, a onda incidente (\(k_i\)) chega no ângulo \(\theta_i\). Uma vez que esta onda atinge a interface, ela se divide em duas partes, uma onda refletida (\(k_r\)) e uma onda transmitida (\(k_t\)). As ondas refletidas e transmitidas viajam em direções caracterizadas por ângulos \(\theta_r\) e \(\theta_t\), respectivamente.

Figura 57 Geometria da lei de Snell. Modificado de [WH88] Figure 3.1.

As ondas eletromagnéticas seguem o princípio de superposição. Para simplificar a matemática associada ao nosso problema e derivar a equação de Fresnel, dividimos a onda EM de entrada em dois modos. O modo TE representa a porção da onda associada as componentes do campo elétrico paralelo à superfície (Figura 58). O modo TM representa a porção da onda associada aos componentes do campo magnético que vêm paralelamente à superfície (Figura 59).

Note

Os modos são frequentemente chamados de modo “elétrico transversal” (denotado por TE ou TE:sub:z) e modo magnético transversal (denotado por TM ou TM:sub:z) porque o campo elétrico ou magnético é transversal a direção \(z\).

Equação de Fresnel para o Modo TE

Figura 58 As orientações relativas dos vetores \(\mathbf{E}\), \(\mathbf{H}\) e \(\mathbf{k}\) para reflexão em uma interface plana quando \(\mathbf{E}_i\) é normal ao plano de incidência (paralelo à superfície S).

A geometria, no que se refere ao modo TE, é mostrada em Figura 58. Para o modo TE, os coeficientes de reflexão e transmissão são dados por:

\[r_{TE} = \frac{\mathbf{E}_r}{\mathbf{E}_i} = \frac{\mu_2 u_1 - \mu_1 u_2} {\mu_2 u_1 + \mu_1 u_2}\]

\[t_{TE} = \frac{\mathbf{E}_t}{\mathbf{E}_i} = \frac{2\mu_2 u_1} {\mu_2 u_1 + \mu_1 u_2}\]

onde

\[u_1 = k_1 \text{cos} \theta_i\]

e

\[u_2 = (k_2^2-k_1^2 \text{sin}^2 \theta_i)^{1/2}\]

Derivação

A fim de relacionar a amplitude das ondas refletidas e transmitidas com a da onda incidente, devemod determinar os coeficientes de reflexão e transmissão para o modo TE, em que:

\[r_{TE} = \frac{\mathbf{E}_r}{\mathbf{E}_i}\]

\[t_{TE} = \frac{\mathbf{E}_t}{\mathbf{E}_i}\]

De acordo com a geometria ilustrada em Figura 58, não há componentes de \(\mathbf{E}\) junto com \(\mathbf{k}\) e nenhum componente de \(\mathbf{E}\) junto com \(\mathbf{\hat n}\). Desse modo:

(147)\[\hat{\mathbf{n}} \cdot \mathbf{E_i} = \mathbf{k_i} \cdot \mathbf{E_i} = 0\]

e

(148)\[\hat{\mathbf{n}} \cdot \mathbf{E_t} = \mathbf{\hat n} \cdot \mathbf{E_r} = 0\]

De acordo com as condições da interface declaradas em relações constitutivas, as componentes do campo elétrico paralelo à superfície \(S\) são contínuas através da interface. Desse modo:

(149)\[\mathbf{E}_i + \mathbf{E}_r = \mathbf{E}_t\]

Aplicando a lei de Snell as Equações (147) e (148), obtemo:

(150)\[\text{cos} \theta_i \mathbf{E}_i - \text{cos} \theta_r \mathbf{E}_r = \frac{\mu_1 k_2}{\mu_2 k_1} \text{cos} \theta_t \mathbf{E}_t\]

Rearranjando as Equações (149) e (150), obtemos:

(151)\[\mathbf{E}_r = \frac{\mu_2 k_1 \text{cos} \theta_i - \mu_1(k_2^2-k_1^2 \text{sin}^2 \theta_i)^{1/2}} {\mu_2 k_1 \text{cos} \theta_i + \mu_1(k_2^2-k_1^2 \text{sin}^2 \theta_i)^{1/2}} \mathbf{E}_i\]

e

(152)\[\mathbf{E}_t = \frac{2\mu_2 k_1 \text{cos} \theta_i} {\mu_2 k_1 \text{cos} \theta_i + \mu_1(k_2^2-k_1^2 \text{sin}^2 \theta_i)^{1/2}} \mathbf{E}_t\]

onde

\[\text{cos}^2 \theta_t = 1 - \text{sin}^2 \theta_t = 1-\Big(\frac{k_1}{k_2}\Big) \text{sin}^2 \theta_i\]

Os coeficientes de reflexão e transmissão o modo TE pode ser escrito como:

(153)\[r_{TE} = \frac{\mathbf{E}_r}{\mathbf{E}_i} = \frac{\mu_2 k_1 \text{cos} \theta_i - \mu_1(k_2^2-k_1^2 \text{sin}^2 \theta_i)^{1/2}} {\mu_2 k_1 \text{cos} \theta_i + \mu_1(k_2^2-k_1^2 \text{sin}^2 \theta_i)^{1/2}}\]

(154)\[t_{TE} = \frac{\mathbf{E}_t}{\mathbf{E}_i} = \frac{2\mu_2 k_1 \text{cos} \theta_i} {\mu_2 k_1 \text{cos} \theta_i + \mu_1(k_2^2-k_1^2 \text{sin}^2 \theta_i)^{1/2}}\]

Substituindo o seguinte:

(155)\[u_1 = k_1 \text{cos} \theta_i\]

(156)\[u_2 = (k_2^2-k_1^2 \text{sin}^2 \theta_i)^{1/2}\]

\(r_{TE}\) e \(t_{TE}\) pode ser escrito como:

(157)\[r_{TE} = \frac{\mu_2 u_1 - \mu_1 u_2} {\mu_2 u_1 + \mu_1 u_2}\]

(158)\[t_{TE} = \frac{2\mu_2 u_1} {\mu_2 u_1 + \mu_1 u_2}\]

Note

Na forma final de \(r_{TE}\) e \(t_{TE}\) mostrados nas Equações (157) e (158), a informação angular é fundida em \(u_1\) e \(u_2\), que são números de onda escalares na direção \(z\). Ou seja, a componente horizontal do número de onda não causa nenhum impacto para determinar \(r_{TE}\) e \(t_{TE}\), e isso é conduzido pelo campo elétrico transversal para direção \(z\).

Equação de Fresnel para o Modo TM

A geometria, no que se refere ao modo TM, é mostrada em Figura 59. Para o modo TM, os coeficientes de reflexão e transmissão são dados por:

Figura 59 As orientações relativas dos vetores \(\mathbf{E}\), \(\mathbf{H}\) e \(\mathbf{k}\) para reflexão em uma interface plana quando \(\mathbf{H}_i\) é paralela à superfície.

\[r_{TM} = \frac{\mu_2 u_2 k_1^2 - \mu_1 u_1 k_2^2} {\mu_2 u_2 k_1^2 + \mu_1 u_1 k_2^2}\]

\[t_{TM} = \frac{2\mu_1 u_1 k_2^2} {\mu_2 u_2 k_1^2 + \mu_1 u_1 k_2^2}\]

onde

\[u_1 = k_1 \text{cos} \theta_i\]

e

\[u_2 = (k_2^2-k_1^2 \text{sin}^2 \theta_i)^{1/2}\]

Derivação

A fim de relacionar a amplitude das ondas refletidas e transmitidas com a da onda incidente, exigimos coeficientes de reflexão e transmissão para o modo TM, onde:

(159)\[r_{TM} = \frac{\mathbf{H_r}}{\mathbf{H_i}} = \frac{\hat{\mathbf{n}}\times \mathbf{E}_r}{\hat{\mathbf{n}}\times \mathbf{E}_i}\]

(160)\[t_{TM} = \frac{\mathbf{H_t}}{\mathbf{H_i}} = \frac{\hat{\mathbf{n}}\times \mathbf{E}_t}{\hat{\mathbf{n}}\times \mathbf{E}_i}\]

De acordo com a geometria ilustrada em Figura 59, não há componentes de \(\mathbf{H}\) junto com \(\mathbf{k}\) e nenhuma componente de \(\mathbf{H}\) junto com \(\mathbf{\hat n}\). Desse modo:

(161)\[\hat{\mathbf{n}} \cdot \mathbf{H}_i = \mathbf{k}_i \cdot \mathbf{H}_i = 0\]

e

(162)\[\hat{\mathbf{n}} \cdot \mathbf{H}_t = \hat{\mathbf{n}} \cdot \mathbf{H}_r = 0\]

De acordo com as condições da interface declaradas em relações constitutivas, as componentes do campo magnético paralelo à superfície \(S\) são contínuas na interface. Desse modo:

(163)\[\mathbf{H}_i + \mathbf{H}_r = \mathbf{H}_t.\]

E aplicando a lei de Snell as Equações (161) e (162), obtemos:

(164)\[\text{cos} \theta_i \mathbf{H}_i - \text{cos} \theta_r \mathbf{H}_r = \frac{\mu_1 k_2}{\mu_2 k_1} \text{cos} \theta_t \mathbf{H}_t\]

Rearranjando as Equações (163) e (164), obtemos:

(165)\[\mathbf{H}_r = -\frac{\mu_2 k_1(k_2^2-k_1^2 \text{sin}^2 \theta_i)^{1/2} - \mu_1k_2^2 \text{cos} \theta_i} {\mu_2 k_1(k_2^2-k_1^2 \text{sin}^2 \theta_i)^{1/2} + \mu_1k_2^2 \text{cos} \theta_i} \mathbf{H}_i\]

(166)\[\mathbf{H}_t = \frac{2 \mu_1k_2^2 \text{cos} \theta_i} {\mu_2 k_1(k_2^2-k_1^2 \text{sin}^2 \theta_i)^{1/2} + \mu_1k_2^2 \text{cos} \theta_i} \mathbf{H}_i\]

em que

\[\text{cos}^2 \theta_t = 1 - \text{sin}^2 \theta_t = 1-\Big(\frac{k_1}{k_2}\Big) \text{sin}^2 \theta_i\]

Assim, os coeficientes de reflexão e transmissão para o modo TM podem ser escritos como:

(167)\[r_{TM} = \frac{\hat{\mathbf{n}}\times \mathbf{E}_t}{\hat{\mathbf{n}}\times \mathbf{E}_i} = - \frac{\mathbf{H}_r}{\mathbf{H}_i} = \frac{\mu_2 k_1(k_2^2-k_1^2 \text{sin}^2 \theta_i)^{1/2} - \mu_1k_2^2 \text{cos} \theta_i}{\mu_2 k_1(k_2^2-k_1^2 \text{sin}^2 \theta_i)^{1/2} + \mu_1k_2^2 \text{cos} \theta_i}\]

(168)\[t_{TM} = \frac{\hat{\mathbf{n}}\times \mathbf{E}_t}{\hat{\mathbf{n}}\times \mathbf{E}_i} = \frac{\mathbf{H}_t}{\mathbf{H}_i} = \frac{2 \mu_1k_2^2 \text{cos} \theta_i}{\mu_2 k_1(k_2^2-k_1^2 \text{sin}^2 \theta_i)^{1/2} + \mu_1k_2^2 \text{cos} \theta_i}\]

Substitutindo estas com as Equações (155) e (156) teremos:

(169)\[r_{TM} = \frac{\mu_2 u_2 k_1^2 - \mu_1 u_1 k_2^2} {\mu_2 u_2 k_1^2 + \mu_1 u_1 k_2^2}\]

(170)\[t_{TM} = \frac{2\mu_1 u_1 k_2^2} {\mu_2 u_2 k_1^2 + \mu_1 u_1 k_2^2}\]

Pergunta

• Definimos o coeficiente de reflexão do modo TM \(r_{TM}\) como a razão entre o campo elétrico tangencial de incidência e a reflexão como mostrado na Equação (159). No entanto, derivamos a proporção de \(\mathbf{H}_i\) e \(\mathbf{H}_r\) então multiplicamos por -1 para obter \(r_{TM}\), por que isso? (Dica: veja a direção de \(\mathbf{E}\) e \(\mathbf{H}\) em Figura 59).

Equações de Fresnel Equations para Incidência Normal

uando a incidência é normal (\(\theta_i\) =0), as Equações (157) e (169) podem ser reduzidas para:

\[r_{TE} = r_{TM} = \frac{\mu_2 k_1 - \mu_1 k_2} {\mu_2 k_1 + \mu_1 k_2}\]