Lei de Gauss a partir da Lei de Coulomb

Equivalência da Lei de Gauss para Campos Elétricos com a Lei de Coulomb

Figura 31 Força Elétrica

A lei de Coulomb é muitas vezes uma das primeiras leis quantitativas encontradas por estudantes de eletromagnetismo. Descreve a força entre duas cargas eletricas pontuais. Acontece que é equivalente à lei de Gauss. A lei de Coulomb afirma que a força entre duas cargas elétricas pontuais estáticas é proporcional ao inverso do quadrado da distância entre elas, atuando na direção de uma linha que as conecta. Se as cargas forem de sinais opostos, a força é atrativa e se as cargas forem do mesmo sinal, a força é repulsiva. Matematicamente, a lei de Coulomb é escrita como

(47)\[\mathbf{F} = \frac{qQ}{4\pi \varepsilon_0 |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^2}~\mathbf{\hat{\underline{r}}} \;,\]

onde \(\mathbf{F}\) é a força entre duasa cargas \(q\) and \(Q\), \(|\mathbf{r} - \mathbf{r'}|\) é a distância entre as cargas e \(\mathbf{\hat{\underline{r}}}\) é o vetor unitário na direção da linha que separa as duas cargas.

Tendo definido a lei de Coulomb, pode-se naturalmente perguntar como uma carga de referência padrão se comportaria na presença de qualquer distribuição de carga elétrica que podemos pensar? Responder a esta pergunta nos leva ao conceito de campo elétrico. Seguimos a apresentação de [Gri99]. Nós podemos definir o campo elétrico de uma carga arbitrária \(Q\) como a força experimentado por uma carga unitária \(q\) devido a \(Q\)

(48)\[\mathbf{e} = \frac{\mathbf{F}}{q}.\]

Dividindo os dois lados da lei de Coulomb por \(q\) e substituindo o definição de \(\ mathbf {e}\), obtemos que o campo elétrico de uma carga pontual \(Q\) é

(49)\[\mathbf{e}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^2}~\mathbf{\hat{\underline{r}}}\;.\]

É importante notar aqui que o campo elétrico obedece ao princípio de superposição, o que significa que o campo elétrico de uma coleção arbitrária de cargas pontuais são iguais à soma dos campos elétricos devido a cada carga individual.

(50)\[\mathbf{e}\left(\sum_{k=1,n} Q_i\right) = \sum_{k=1,n} \mathbf{e}(Q_i)\]

Se considerarmos o campo elétrico devido a um corpo espacialmente estendido com densidade de carga \(\rho\), a soma torna-se uma integral sobre o infinitesimal elementos de volume do corpo

(51)\[\mathbf{e} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V \frac{\rho}{|\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^2}\;~\mathbf{\hat{\underline{r}}}\;\mathrm{d}v,\]

onde \(|\mathbf{r} - \mathbf{r'}|\) agora é a distância de um ponto em o corpo carregado até o ponto em que o campo elétrico deve ser avaliado. A integral está sobre o corpo carregado.

Podemos mostrar (51) é equivalente a lei de Gauss diretamente da definição de divergência,

\[\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{e} = \underset{\Delta V \rightarrow 0}{lim} ~\frac{1}{\Delta V} \oint_{S} \mathbf{e}~da,\]

onde a integral é sobre \(S\), a superfície fechada limitando o volume \(\Delta V\). Aplicando esta definição para o campo elétrico de uma carga pontual \(q\) na origem temos

\[\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{e} = \underset{\Delta V \rightarrow 0}{lim} \left[ \frac{1}{\Delta V}\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^2} \oint_{S} ~da \right].\]

Tomando \(\Delta V\) como o raio de uma esfera fechada de raio \(|\mathbf{r} - \mathbf{r'}|\) centrada na origem, podemos facilmente avaliara a integral, dando

\[ \begin{align}\begin{aligned}\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{e} &= \underset{\Delta V \rightarrow 0}{lim} \left[ \frac{1}{\Delta V} \frac{4 \pi |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^2\;q }{4\pi\varepsilon_0 |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^2} \right ]\\~ &= \underset{\Delta V \rightarrow 0}{lim} \left[ \frac{1}{\Delta V} \frac{q}{\varepsilon_0} \right ].\end{aligned}\end{align} \]

No limite \(\Delta V \rightarrow 0\), \(\frac{q}{\Delta V}\) é simplesmente a densidade de carga \(\rho\). Isto estabelece o resultado desejado

\[\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{e} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.\]

Para uma discussão mais detalhada, consulte a página 36 de [Fle08]. Para uma derivação alternativa e discussão, consulte as páginas 65-70 de [Gri99].