Lei da Conservação da Carga

A conservação de carga afirma que as cargas elétricas não podem ser criadas ou destruídas. Não é uma equação independente, uma vez que pode ser derivada de outras equações de Maxwell, mas é um ponto de partida útil para resolver alguns problemas. Ela pode ser escrita nas formas integral e diferencial.

Forma Integral

A formulação integral de conservação da carga é

(75)\[\int_A \mathbf{j} \cdot da = - \dfrac{d}{dt} \int_V \rho dv = - \dfrac{dQ}{dt}\]

onde:

\(\mathbf{j}\) é a densidade de corrente
\(\rho\) é a densidade de carga volumetrica
\(Q\) é a carga total dentro do volume
\(A\) é a área da superfície do volume
\(V\) é o volume

Forma Diferencial:

Com o uso da equação do teorema da divergência ou (Teorema de Gauss), a (75) pode ser escrita na forma diferencial:

(76)\[\nabla \cdot \mathbf{j} = -\dfrac{\partial \rho}{\partial t}\]

Fórmula da Conservação da Carga da Lei de Ampère-Maxwell

A conservação da equação da carga não é uma equação independente que precisa para ser incluída juntamnete as equações de Maxwell. Pode ser derivada da Lei de Ampère-Maxwell e Lei de Gauss para cargas elétricas.

\[\nabla \times \mathbf{h} = \mathbf{j} + \dfrac {\partial \mathbf{d}}{\partial t}\]

Tomando a divergência e usando \(\nabla \cdot \mathbf{d} = \rho_f\) e a identidade vetorial \(\nabla.\nabla\times\mathbf{f}=0\) temos

\[0 = \nabla\cdot\nabla \times \mathbf{h} = \nabla\cdot\mathbf{j} + \dfrac {\partial}{\partial t} \nabla\cdot\mathbf{d} \quad \text{implica} \quad \nabla \cdot \mathbf{j} = - \dfrac{\partial \rho_f}{\partial t}\]

Note que as equações de Maxwell \(\mathbf{j}\) refere-se a densidade de cargas livres

Uso da conservação das cargas

Equações iniciais para resistividade DC

Se houver um termo fonte, digamos uma corrente \(I\) que é injetada em uma locação \(\mathbf{r_s}\) então a lei para a conservação de carga torna-se

\[\nabla \cdot \mathbf{j} + \dfrac{\partial \rho_f}{\partial t} = I \delta (\mathbf{r} - \mathbf{r_s})\]

Observe que o sinal positivo se refere à corrente positiva sendo injetada no meio. Sob condições de estado estacionário, o termo da derivada de tempo é zero e o equação se reduz a

\[\nabla \cdot \mathbf{j} = I \delta (\mathbf{r} - \mathbf{r_s})\]

que é uma equação inicial para problemas de resistividade DC.

Dissipação de carga livre em um meio condutor

Este é um cálculo clássico, mas criterioso ([Str41]). Considere um pequeno volume tendo uma densidade de carga inicial de \(\rho_0\). A carga é liberada em um meio homogêneo que tem uma condutividade \(\sigma\) e permissividade \(\epsilon_0\). Usando \(\mathbf{j}=\sigma\mathbf{e}\) podemos escrevemos

\[\nabla \cdot \mathbf{j} = \dfrac{\sigma}{\epsilon_0} \nabla \cdot \mathbf{d} = \dfrac{\sigma}{\epsilon_0}\rho_f\]

A conservação das cargas torna-se

\[\dfrac{\partial \rho_f}{\partial t} + \dfrac{\sigma}{\epsilon_0}\rho_f = 0\]

que tem uma solução

\[\rho_f(t)= \rho_0 e^{ \frac {-\sigma}{\epsilon_0} t}\]

Mesmo com condutividade muito baixa, por exemplo \(\sigma=10^{-5}\) com \(\epsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12}\) a densidade de carga no local de liberação diminui por um fator de \(e\) em \(10^{-6}\) segundos. Assim para tipos de materiais de Terra, uma carga inserida na terra se dissipa extremamente rápido.