Derivação da Equação da Onda no Tempo

Aqui, derivamos as equações de onda no tempo para os campos elétrico e magnético. Para fazer isso, começamos com Lei de Faraday e Lei de Ampere-Maxwell:

(313)\[\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{e} = -\frac{\partial \mathbf{b}}{\partial t}\]

(314)\[\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{h} = \mathbf{j} + \frac{\partial \mathbf{d}}{\partial t}\]

bem como as três relações constitutivas:

(315)\[\mathbf{j} = \sigma \mathbf{e}\]

(316)\[\mathbf{d} = \epsilon \mathbf{e}\]

(317)\[\mathbf{b} = \mu \mathbf{h}\]

Derivação para o Campo Elétrico

Para derivar a equação de onda para \(\mathbf{e}\), primeiro tomamos o rotacional da Lei de Faraday, mostrada na equação (313):

(318)\[\boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{e}) = - \boldsymbol{\nabla} \times \frac{\partial \mathbf{b}}{\partial t}\]

As relações constitutivas apropriadas podem ser substituídas na Equação (318) para obter as seguintes expressões em termos de apenas os campos \(\mathbf{e}\) e \(\mathbf{h}\) em vez de campos e fluxos:

(319)\[\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{e} = - \boldsymbol{\nabla} \times \left ( \frac{\partial}{\partial t} (\mu \mathbf{h}) \right )\]

Assumindo que as propriedades físicas são homogêneas em todo o domínio, \(\mu\), \(\epsilon\), e \(\sigma\) podem ser movidos para a frente dos termos da derivada. Isso simplifica as expressões acima:

(320)\[\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{e} = - \mu \boldsymbol{\nabla} \times \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial t}\]

Se ainda assumirmos que podemos tomar a primeira e a segunda derivadas de \(\mathbf{e}\), podemos tomar as derivadas primeiras espaciais ou as derivadas do tempo. Equação (320) também pode ser escrita como:

(321)\[\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{e} = - \mu \frac{\partial}{\partial t} \left ( \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{h} \right )\]

Esta expressão agora é apenas em termos de \(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{e}\)boldsymbol{nabla}timesmathbf{h}`. Assim, podemos use Equação (314) para gerar uma equação com apenas \(\mathbf{e}\). Substituímos na Equação (314) em Equação (321) e simplificar usando as relações constitutivas nas Equações (107) e (316):

\[\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{e} = - \mu \frac{\partial}{\partial t} \left ( \mathbf{j} + \frac{\partial \mathbf{d}}{\partial t} \right )\]

\[\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{e} = - \mu \frac{\partial}{\partial t} \left ( \sigma \mathbf{e} + \frac{\partial (\epsilon \mathbf{e})}{\partial t} \right )\]

(322)\[\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{e} = - \mu \sigma \frac{\partial \mathbf{e}}{\partial t} - \mu \epsilon \frac{\partial^2 \mathbf{e}}{\partial t^2}\]

Além disso, podemos simplificar o primeiro termo desta expressão usando o identidade vetorial \(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{x} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{x} - \boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{x}\). Lembrando que ambos \(\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{e}\) e \(\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{h}\) são zero em um espaço homogêneo, a identidade vetorial simplesmente torna-se \(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{x} = - \boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{x}\). Se agora substituirmos isso em (322), obtemos a seguinte expressão:

(323)\[\boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{e} - \mu \epsilon \frac{\partial^2 \mathbf{e}}{\partial t^2} - \mu \sigma \frac{\partial \mathbf{e}}{\partial t} = 0\]

Esta é a equação de onda para o campo elétrico no domínio do tempo.

Derivação para o Campo Magnético

Para derivar a equação de onda para \(\mathbf{h}\), repetimos acima a derivação, mas iniciando agora, tomando o rotacional da Lei de Ampère, mostrada em equação (314):

(324)\[\boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{h}) = \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{j} + \boldsymbol{\nabla} \times \frac{\partial \mathbf{d}}{\partial t}\]

As relações constitutivas podem ser substituídas na Equação (324) para obter as seguintes expressões em termos de apenas \(\mathbf{e}\) e \(\mathbf{h}\):

(325)\[\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{h} = \boldsymbol{\nabla} \times (\sigma \mathbf{e}) + \boldsymbol{\nabla} \times \left ( \frac{\partial}{\partial t} (\epsilon \mathbf{e}) \right )\]

Simplificamos a expressão como fizemos antes para o campo elétrico.

(326)\[\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{h} = \sigma \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{e} + \epsilon \boldsymbol{\nabla} \times \frac{\partial \mathbf{e}}{\partial t}\]

Podemos assumir que podemos pegar a primeira e a segunda derivadas de \(\mathbf{e}\) e \(\mathbf{h}\) e podemos tomar as derivadas espaciais ou derivadas de tempo primeiro. A equação (326) então também pode ser escrita como:

(327)\[\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{h} = \sigma \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{e} + \epsilon \frac{\partial}{\partial t} \left ( \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{e} \right )\]

Estas expresões são agora em termos de \(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{e}\) e \(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{h}\). Assim, podemos usar a Equação (313) para gerar uma equação com somente \(\mathbf{h}\). Então tomamos novamente a identidade vetorial \(\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{x} = \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{x} - \boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{x}\) e o fato de que \(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{h}\) é zero num espaço homogêneo para simplificar a identidade vetorial para \(\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{x} = - \boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{x}\). Isto é então substituído na equação de onda, como mostra as seguintes derivações.

\[\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{h} = - \sigma \frac{\partial \mathbf{b}}{\partial t} - \epsilon \frac{\partial}{\partial t} \left (\frac{\partial \mathbf{b}}{\partial t} \right )\]

\[\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{h} = - \sigma \frac{\partial (\mu \mathbf{h}) }{\partial t} - \epsilon \frac{\partial}{\partial t} \left (\frac{\partial (\mu \mathbf{h})}{\partial t} \right )\]

\[\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{h} = - \sigma \mu \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial t} - \epsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf{h}}{\partial t^2}\]

\[- \boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{h} = - \sigma \mu \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial t} - \epsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf{h}}{\partial t^2}\]

(328)\[\boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{h} - \epsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf{h}}{\partial t^2} - \sigma \mu \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial t} = 0\]

A equação (328) é então a equação de onda para o campo magnético no domínio do tempo.