Reflexão e Ângulo de Brewster

Note

Primeiro identificamos a reflexão total e o ângulo de Brewster para um meio dielétrico e, em seguida, os relacionamos com o meio condutor.

Reflexão Total

Para um meio dielétrico perfeito, a condutividade é zero e a permeabilidade é a do espaço livre isto é, \(\mu_1=\mu_2=\mu_0\). Neste caso, A lei de Snell se reduz para:

(329)\[\frac{\text{sin} \theta_i}{\text{sin} \theta_t} = \frac{k_1}{k_2} = \Big(\frac{\epsilon_2}{\epsilon_1}\Big)^{1/2} = n_{12}\]

onde \(n_{12}\) é o índice relativo de refração. Se \(\epsilon_2 > \epsilon_1\) então \(n_{12} > 1\). Nesta situação, para qualquer ângulo de incidência \(\theta_i\) existe um ângulo real de transimissão \(\theta_t\). Por outro lado, se \(\epsilon_2 < \epsilon_1\) então \(\theta_t\) é real apenas quando \(n_{12}\text{sin}\theta_t\leq 1\). A reflexão total ocorre quando \(n_{12} \text{sin}\theta_t > 1\), e indica que a onda não pode passar e é totalmente refletida. Para a reflexão de uma superfície condutora, uma reflexão total ocorre quando \(\sigma_1 > \sigma_2\). Figura 76 ilustram isso.

Figura 76 Ângulo de transmissão \(\theta_t\) em função do ângulo de incidência \(\theta_i\) quando \(\sigma_1\) = 1 S/m e \(\sigma_2\) = 0,1 S/m. A permeabilidade magnética e a permissividade dielétrica são assumidas como sendo aquelas de espaço livre (\(\epsilon = \epsilon_0\) e \(\mu = \mu_0\))

Ângulo de Brewster

A partir de coeficientes de reflexão derivados para o modo TE em Equações de Fresnel, o coeficiente de reflexão para dielétrico perfeito pode ser escrito como

\[r_{TE} = \frac{(\epsilon_1)^{1/2} \text{cos} \theta_i - (\epsilon_2)^{1/2} \text{cos} \theta_t}{(\epsilon_1)^{1/2} \text{cos} \theta_i + (\epsilon_2)^{1/2} \text{cos} \theta_t}\]

Com a lei de refração de Snell mostrada na Equação (329), a equação acima pode ser modificada como

\[r_{TE} = \frac{\text{cos} \theta_i \text {sin} \theta_t - \text{cos} \theta_t \text {sin} \theta_i}{\text{cos} \theta_i \text {sin} \theta_t + \text{cos} \theta_t \text {sin} \theta_i} = \frac{\text {sin} (\theta_t - \theta_i)}{\text {sin}(\theta_t + \theta_i)}\]

Similarmente, o coeficiente de rflexão para o modo TM pode ser obtido como

\[r_{TM} = \frac{\text {tan} (\theta_t - \theta_i)}{\text {tan}(\theta_t + \theta_i)}\]

A energia dos coeficiente de reflexão para o modo TE e TM podem ser escritos como

\[R_{TE} \equiv |r_{TE}|^2 = \frac{\text {sin}^2 (\theta_t - \theta_i)}{\text {sin}^2(\theta_t + \theta_i)}\]

\[R_{TM} \equiv |r_{TM}|^2 = \frac{\text {tan}^2 (\theta_t - \theta_i)}{\text {tan}^2(\theta_t + \theta_i)}\]

Consequentemente, a energia do coeficiente de transmissão será

\[T_{TE} \equiv 1-|r_{TE}|^2\]

\[T_{TM} \equiv 1-|r_{TM}|^2\]

Se \((\theta_t + \theta_i) \rightarrow \pi/2\), então \(\text{tan}(\theta_t + \theta_i) \rightarrow \infty\), e \(r_{TM} \rightarrow 0\). As ondas refletidas e refratadas são normais uma a outra, e

\[\text {sin} \theta_t = \text {sin} (\pi/2 - \theta_i) = \text {cos} \theta_i\]

tal que a Equação (329) torna-se

\[\text {tan} \theta_i = \Big(\frac{\epsilon_2}{\epsilon_1}\Big)^{1/2} = n_{12}\]

O ângulo que essa equação satisfaz é conhecido como ângulo de Brewster. A reflexão de uma superfície condutora, haverá um mínimo em \(R_{TM}\), análogo ao ângulo de Brewster, para algum ângulo de incidência particular. Esse mínimo não ocorre em \(R_{TE}\). Figura 77 ilustram isso.

Figura 77 A potência do coeficiente de reflexão \(R_{TE}\) e \(R_{TM}\) versus ângulo de incidência para onda plana na interface ar-terra. A condutividade e a permissividade dielétrica da terra são consideradas 0,01 S/m, e \(\epsilon = \epsilon_0\), respectivamente. A frequência é 6 x 10:sup:5 Hz.

App

Figura 76 e Figura 77 são gerados pelo aplicativo Reflexão e Refração que permite ajustar a condutividade de cada meio e obter o ângulo de transmissão correspondente, a potência de reflexão e os coeficientes de transmissão em função do ângulo de incidência. O link abaixo direcionará você para o aplicativo: