Derivação das Condições de Interfaces

Aqui, derivamos as condições de interface para os campos \(\mathbf{e}\) e \(\mathbf {h}\), bem como para fluxos \(\mathbf{j}\), \(\mathbf{d}\) e \(\mathbf{b}\) de acordo com Griffiths [Gri99]. Isso pode ser realizado usando as equações de Maxwell na forma integral no domínio do tempo, onde:

(79)\[\oint_S \mathbf{d} \cdot d \mathbf{a} = Q_f\]

(80)\[\oint_S \mathbf{b}\cdot d \mathbf{a} = 0\]

(81)\[\oint_C \mathbf{e} \cdot d\mathbf{l} = - \int_S \frac{\partial \mathbf{b}}{\partial t} \cdot d\mathbf{a}\]

(82)\[\oint_C \mathbf{h} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \bigg ( \mathbf{j} + \frac{\partial \mathbf{d}}{\partial t} \bigg ) \cdot d\mathbf{a}\]

Lembrando que \(Q_f\) e \(\mathbf{j}\) são as cargas livres totais incluídas e a densidade de corrente livre, respectivamente. Os campos e fluxos estão relacionados através das seguintes relações constitutivas:

(83)\[\mathbf{j} = \sigma \mathbf{e},\]

(84)\[\mathbf{d} = \varepsilon \mathbf{e},\]

(85)\[\mathbf{b} = \mu \mathbf{h},\]

em que \(\sigma\) denota a condutividade elétrica, \(\varepsilon\) representa a permissividade dielétrica e \(\mu\) denota a permeabilidade magnética.

Componente Normais as Interfaces

Consideramos as componentes dos campos e fluxos que são normais a interface.

Deslocamento Elétrico

Figura 37 Caixa Gaussiana.

Embora possa parecer contra-intuitivo, primeiro derivaremos a condição de interface para componentes normais do deslocamento elétrico. Considere uma caixa gaussiana extremamente pequena de altura \(h\) e área da seção transversal \(S_{\text{top}} = \pi r_{\text{top}}^2\) (Figura 37). Ao aplicar a Equação (79) para nossa caixa gaussiana, obtemos:

\[\int_0^{2\pi}\int_0^{r_{\text{top}}} d_1^\perp ~drd\theta - \int_0^{2\pi}\int_0^{r_{\text{top}}} d_2^\perp ~ dr d \theta + \int\limits_{-h/2}^{h/2}\int\limits_0^{2\pi} d^\parallel ~ d \theta dz = Q_f\]

onde \(d_{1}^\perp\) e \(d_{2}^\perp\) são as componentes do deslocamento elétrico normal para a parte superior e inferior da caixa, respectivamente. A componente radial (paralelo à interface) é denotado por \(d^\parallel\). Uma vez que a caixa é extremamente pequena, podemos assumir que \(d_{1}^\perp\) e \(d_{2}^\perp\) são constantes no topo e na base da caixa, respectivamente. Partindo desse pressuposto, a expressão anterior pode ser simplificada para:

(86)\[d_{1}^\perp S_{\text{top}} - d_{2}^\perp S_{\text{top}} + \int\limits_{-h/2}^{h/2}\int\limits_0^{2\pi} d^\parallel ~ d \theta dz = Q_f.\]

Se tomarmos o limite como \(h\rightarrow 0\) enquanto deixamos \(S_{\text{top}}\) permanecer fixo, o termo da integral no lado esquerdo da Equação (86) desaparece. Além disso, como a dimensão vertical da caixa vai para zero, a carga livre total incluída \(Q_f\) torna-se o produto de uma densidade de carga de superfície livre \(\tau_f\) e a área do topo da caixa; assumindo que a distribuição das cargas superficiais é constante. Isso resulta na seguinte expressão:

\[d_{1}^\perp S_{\text{top}} - d_{2}^\perp S_{\text{top}} = \tau_f S_{\text{top}}\]

Dividindo os dois lados pela área superior da caixa, a condição de interface para as componentes normais do deslocamento elétrico é dada por:

(87)\[d_{1}^\perp - d_{2}^\perp = \tau_f\]

Assim, a componente normal do deslocamento elétrico é descontínuo na interface. Além disso, a descontinuidade está associada ao acúmulo de cargas elétricas.

Campo Elétrico

Para obter a condição de interface para as componentes normais do campo elétrico, podemos combinar as Equações (84) e (87). Assim:

(88)\[\varepsilon_1 e_{1}^\perp -\varepsilon_2 e_{2}^\perp = \tau_f\]

Densidade de Corrente

Para obter a condição de interface para as componentes normais da densidade de corrente elétrica, podemos combinar as Equações (83) e (88). Assim:

(89)\[\frac{\varepsilon_1}{\sigma_1} j_{1}^\perp - \frac{\varepsilon_2}{\sigma_2} j_{2}^\perp = \tau_f\]

No caso onde não exista dirença nas propriedades dielétricas através da interface, esta equação simplifica para a seguinte:

(90)\[\frac{j_{1}^\perp}{\sigma_1} - \frac{j_{2}^\perp}{\sigma_2} = \frac{\tau_f}{\varepsilon_0}\]

Casos especiais: Corrente em estado estacionário

Para examinar este caso, considermos a equação da continuidade para conservação da carga:

(91)\[\int_A \mathbf{j} \cdot d\mathbf{a} = -\frac{dQ_f}{dt}\]

No estado estacionário, a densidade de carga livre na interface é estática no tempo. Portanto, o lado direito da equação anterior é zero. Se usarmos a caixa gaussiana de Figura 37 e seguirmos os mesmos argumentos usados para derivar as condições de interface para \(d^\perp\), descobrimos que:

(92)\[j_1^\perp = j_2^\perp\]

Assim, no estado estacionário, da componente normal da densidade da corrente é contínuo na interface. Se deixarmos \(j_1^\perp = j_2^\perp = j^\perp\), a condição de interface para a densidade de corrente elétrica na ausência de dielétricos simplifica para:

(93)\[\bigg ( \frac{1}{\sigma_1} - \frac{1}{\sigma_2} \bigg ) j^\perp = \big ( \rho_1 - \rho_2 \big ) j^\perp = \frac{\tau_f}{\varepsilon_0}\]

onde \(\rho = 1 / \sigma\) é a resistividade elétrica. Embora o acúmulo de carga elétrica seja completo neste caso, é importante observar que a diferença nas propriedades elétricas na interface é responsável pelo acúmulo de carga elétrica.

Densidade de Fluxo Magnético

A condição de interface para a componente normal da densidade de fluxo magnético é derivada da Equação (80); ou seja, a lei de Gauss para campos magnéticos. Para isso, podemos seguir exatamente o mesmo argumento utilizado para obter as condições de interface para o deslocamento elétrico. No entanto, como o lado direito da Equação (80) é sempre zero, a condição de interface para o componente normal da densidade de fluxo magnético é dada por:

(94)\[b_{1}^\perp - b_{2}^\perp = 0\]

Desta forma, as componentes normais da densidade de fluxos magnéticos são contínuas através das interfaces.

Campo Magnético

Para obter a condição de interface para as componentes normais do campo magnético, podemos combinar as Equações (85) e (94). Assim:

\[\mu_1 h_{1}^\perp -\mu_2 h_{2}^\perp = 0\]

Componentes Tangenciais a Interface

Aqui, consideramos as componentes dos campos e fluxos que são tangenciais à interface.

Campo Elétrico

Figura 38 Retângulo Gaussiano.

Embora possa parecer estranho, dada a ordem anterior, primeiro derivaremos a condição de interface para as componentes tangenciais do campo elétrico. Considere um retângulo gaussiano de altura \(h\), largura \(l\) e área \(A\) (Figura 38). A superfície deste retângulo é perpendicular à interface.

Começamos aplicando a Equação (81) ao nosso retângulo. Supondo que o retângulo seja pequeno o suficiente, de modo que o campo elétrico tangencial seja constante ao longo de ambas as bordas horizontais, obtemos o seguinte:

(95)\[\oint_C \!\mathbf{e}\cdot d\mathbf{l} = e_{1}^\parallel \, l - e_{2}^\parallel \, l + \int_{-h/2}^{h/2} e^\perp (x \! =\! -l/2) ~dz - \int_{-h/2}^{h/2} e^\perp (x \! = \! l/2) ~dz = - \!\int_A \frac{\partial \mathbf{b}}{\partial t}\cdot d \mathbf{a}\]

onde \(e_{1}^\parallel\) e \(e_{2}^\parallel\) são as componentes tangenciais do campo elétrico nas bordas superior e inferior do retângulo gaussiano, respectivamente. As componentes normais do campo elétrico são denotados por \(e^\perp\).

Se tomarmos o limite \(h\rightarrow 0\), deixando a largura \(l\) fixa, as integrais no lado esquerdo da Equação (95) vai para zero. Além disso, esse limite faz com que a área da superfície do retângulo vá para zero, portanto, a integral no lado direito da Equação (95) também é zero. Assim:

(96)\[e_{1}^\parallel \, l - e_{2}^\parallel \, l = 0\]

Dividindo a equação anteior por \(l\), obtemos as condições de interface para as componentes tangenciais do campo elétrico:

(97)\[e_{1}^\parallel - e_{2}^\parallel = 0.\]

A componente tangencial do campo elétrico é contínua ao longo da interface. Como resultado, as componentes tangenciais do campos elétricos não são responsáveis por qualquer acúmulo de cargas elétricas na interface.

Deslocamento Elétrico

Para obter a condição de interface para as componentes tangenciais do deslocamento elétrico, podemos combinar as Equações (84) e (97). Assim:

(98)\[\frac{ d_{1}^\parallel}{\varepsilon_1} - \frac{d_{2}^\parallel}{\varepsilon_2} = 0\]

Densidade de Corrente

Para obter a condição de interface para as componentes tangenciais da densidade de corrente elétrica, podemos combinar as Equações (83) e (97). Assim:

(99)\[\frac{ j_{1}^\parallel}{\sigma_1} - \frac{j_{2}^\parallel}{\sigma_2} = \rho_1 j_1^\parallel - \rho_2 j_2^\parallel = 0\]

onde \(\rho = \sigma^{-1}\) é a resistividade elétrica.

Campo Magnético

A condição de interface para a componente tangencial do campo magnético é derivada da Equação (82); ou seja, a equação Ampère-Maxwell. Aqui, podemos seguir exatamente os mesmos argumentos usados para obter as condições de interface para o campo elétrico. Neste caso, no entanto, devemos também abordar o termo integral que contém a densidade de corrente livre, de modo que:

(100)\[I_f = \int_S \mathbf{j} \cdot d \mathbf{a}\]

onde \(I_f\) é a corrente livre total encerrada. Tomando o limite \(h \rightarrow 0\), a equação de Ampere-Maxwell aplicada ao loop Gaussiano torna-se:

(101)\[\oint_C \mathbf{h}\cdot \mathbf{d}\mathbf{l} = h_{1}^\parallel \, l - h_{t}^\parallel \, l = I_f\]

Como o lado direito da Equação (95), o termo de fluxo contendo o deslocamento elétrico vai para zero conforme a área do loop vai para zero. No entanto, este não é o caso da corrente livre fechada. Como \(h \rightarrow 0\), ainda há corrente livre que flui ao longo da interface. A corrente de superfície livre é o produto de uma densidade de corrente de superfície \(K_f\) e a largura do loop; assumindo \(K_f\) é constante ao longo da interface. Assim:

(102)\[h_{1}^\parallel \, l - h_{2}^\parallel \, l = K_f l\]

Dividindo a expressão anterior pela largura do loop, a condição de interface para a componente tangencial do campo magnético é dada por:

(103)\[h_{1}^\parallel - h_{t}^\parallel = K_f\]

Portanto, a componente tangencial do campo magnético é descontínuo na interface. Além disso, a descontinuidade do campo magnético está relacionada a uma densidade de corrente de superfície livre que flui ao longo da interface.

Densidade de Fluxo Magnético

Para obter a condição de interface para as componentes tangenciais da densidade do fluxo magnético, podemos combinar as Equações (85) e (103). Assim:

(104)\[\frac{b_{1}^\parallel}{\mu_1} - \frac{h_{t}^\parallel}{\mu_2} = K_f\]