Derivação da Função Resposta

Considere um simples circuito equivalente como mostrado na Figura 79.

Figura 79 Diagrama conceitual para o sistema de 3-loops.

Vamos supor que a corrente alternada, \(I_1 e^{\imath\omega t}\) seja feito para fluir no Tx (Loop 1). Esta corrente gera uma alternância do campo magnético no ambiente circundante, que por sua vez induz um FEM (força eletromotriz) tanto no corpo (Loop 2) quanto no Rx (Loop 3). Esses FEMs são regidos pela Lei de Faraday

\[\mathcal{E}_{j} = - M_{ij} \frac{d I_i}{dt},\]

onde \(\mathcal{E}_j\) é a FEM induzida em um circuito por uma corrente \(I_i\) fluindo em outro circuito. Se \(M_{ij}\) é sua indutância mútua. A FEM induzida no Rx é desta forma

\[\mathcal{E}^p_3 = -\imath \omega M_{13} I_1 e^{\imath\omega t}\]

e a FEM induzida no corpo é

\[\mathcal{E}_2 = -\imath \omega M_{12}I_1 e^{\imath\omega t}\]

Nós devemos acrescentar \(\mathcal{E}_2^{\dagger}\), a soma da queda de tensão através da resistência do circuito e da FEM de retorno gerado pela auto-indutância quando uma corrente \(I_2e^{\imath \omega t}\) flui pelo corpo. Para isso, consideramos o circuito RL como mostrado em Figura 80.

Figura 80 Diagrama conceitual do circuito RL.

A impedância elétrica do circuito RL pode ser escrita como

\[Z(\omega) = R + \imath \omega L,\]

onde \(R\) e \(L\) indicam resistência e indutância, respectivamente. Usando lei de Ohm obtemos

\[V(\omega) = \mathcal{E}_2 = I_2(\omega) Z(\omega).\]

Para encontra a corrente \(I_2\), observamos que em torno de qualquer circuito fechado a força FEM total deve ser nula i.e.

\[\mathcal{E}_2 + \mathcal{E}^{\dagger}_2 = 0\]

e desta forma

\[\begin{split}I_2 e^{\imath \omega t} = - \frac{\imath \omega M_{12}}{R + \imath \omega L} I_1 e^{\imath \omega t} \\ = - \frac{\imath \omega L/R}{ 1 + \imath \omega L/R} \frac{M_{12}I_1}{L} e^{\imath \omega t} \\\end{split}\]

Esta é a solução para a corrente parasita induzida no corpo (Loop 2). No entanto, estamos interessados apenas no campo magnético secundário que esta corrente produz, e particularmente na FEM que o campo induz no Rx (Loop 3).

\[\mathcal{E}^s_3 = -\imath \omega M_{23} I_2 e^{\imath \omega t}\]

Na maioria dos casos, o aparelho mede essa tensão anômala comparando-a com a FEM induzida pelo campo primário na ausência do circuito; ou seja, mede \(\mathcal{E}_3^s / \mathcal{E}_3^p\). Assim, a resposta EM do loop enterrado é dada por

\[\begin{split}\frac{\mathcal{E}_3^s }{\mathcal{E}_3^p} = \frac{-\imath \omega M_{23} I_2 e^{\imath \omega t}}{-\imath \omega M_{13} I_1 e^{\imath\omega t}} = - \frac{M_{12}M_{23}}{M_{13}L} \Big[\frac{\imath \omega L/R}{ 1 + \imath \omega L/R} \Big] \\ = C Q (\alpha)\end{split}\]

A resposta EM é composta por duas partes: coeficiente de acoplamento, C e função de resposta, Q, que pode ser escrita como

\[C = - \frac{M_{12}M_{23}}{M_{13}L}\]

e

\[Q = \frac{\imath \omega L/R}{ 1 + \imath \omega L/R}\]

Podemos redefinir isto usando a constante de tempo \(\tau = L/R\)

\[Q = \frac{\imath\omega \tau}{1+\imath \omega \tau}\]

ou usando o número de indução \(\alpha = \omega \tau\)

\[Q = \frac{\imath \alpha}{1+\imath\alpha} = \frac{\alpha^2 + \imath \alpha}{1+\alpha^2}\]

Abaixo a figura mostara as componentes real e imaginária de \(Q\).

De derivação similar podemos obter

\[\frac{H_3^s }{H_3^p} = C Q(\alpha),\]

onde \(H\) representa o campo magnético. Portanto, a igualdade:

\[\frac{\mathcal{E}_3^s }{\mathcal{E}_3^p} = \frac{H_3^s }{H_3^p}\]

mantém os campos e as tensões, desta forma podendo ser usados alternadamente ao medir com uma bobina.