Permeabilidade Magnética Dependente da Frequência

Em resposta às mudanças em um campo magnético aplicado, a magnetização induzida dentro da maioria das rochas pode ser considerada um processo instantâneo. Para alguns solos lateríticos e basaltos resfriados rapidamente, no entanto, uma parte da magnetização induzida sofre um processo de relaxação. Esse processo de relaxação é comumente referido como: magnetização remanente viscosa, viscosidade magnética ou efeito residual magnético. Como resultado de sua viscosidade magnética, solos lateríticos e basaltos resfriados rapidamente são caracterizados por permeabilidades magnéticas dependentes de frequência.

Aqui, nossa descrição da viscosidade magnética é limitada a fornecer expressões úteis para implementação em problemas aplicados. Estudos abrangentes de viscosidade magnética e sua relevância para levantamentos geofísicos podem ser encontrados em ([Bus82, DJT92, Das06, DOzdemir97, Lee84, Neel49, Pas07]).

Descrição Mathematica

Para rochas que são caracterizadas pelas permeabilidades dependentes da frequência, as relações constitutivas magnéticas tronam-se:

(26)\[{\bf B}(\omega) = \mu (\omega) \, {\bf H}(\omega)\]

onde \(\mu (\omega)\) pode ser caracterizada também por uma susceptibilidade magnética dependente da frequência \(\chi (\omega)\):

(27)\[\mu (\omega) = \mu_0 \big [ 1 + \chi (\omega) \, \big ]\]

Conforme apresentado em magnetismo em rochas, a susceptibilidade magnética representa o grau proporcional de magnetização induzida, em resposta a um campo magnético aplicado. Para rochas que exibem viscosidade magnética, o processo de relaxação pode ser compreendido considerando um modelo de Debye:

(28)\[\chi(\omega) = \chi_\infty + \frac{\chi_0 - \chi_\infty}{1 + i \omega \tau}\]

onde \(\chi_0\) define o limite de frequência zero, \(\chi_\infty\) define o limite de frequência infinito e \(\tau\) define a taxa de relaxamento magnético. A porção instantânea da magnetização induzida é representada por \(\chi_\infty\), enquanto \(\chi_0- \chi_\infty\) representa a contribuição viscosa. Em rochas, a viscosidade magnética é caracterizada por uma distribuição de constantes de relaxamento de tempo. Isso pode ser representado pela introdução de uma função de ponderação \(f(\tau)\), e integrando todos os modelos de Debye:

(29)\[\chi (\omega) = \chi_\infty + \big ( \chi_0 - \chi_\infty \big ) \int_0^\infty \frac{f(\tau)}{1 + i\omega\tau} d\tau\]

A viscosidade magnética de uma rocha depende, em última análise, da distribuição das constantes de relaxação de tempo. A partir da expressão (29), vários modelos foram propostos. Um dos modelos mais simples e populares é obtido assumindo uma distribuição uniforme logarítmica das constantes de relaxamento de tempo:

(30)\[\chi(\omega) = \chi_0 - \frac{\chi_0 - \chi_\infty}{ln (\tau_2/\tau_1)} ln \Bigg ( \frac{1 + i\omega\tau_2}{1 + i\omega\tau_1} \Bigg )\]

onde \(\tau_1\) e \(\tau_2\) representam os limites inferior e superior para distribuição. Uma função de ponderação específica também pode ser usada para obter o modelo Cole-Cole:

(31)\[\chi(\omega) = \chi_\infty + \frac{\chi_0 - \chi_\infty}{1 + (i \omega \tau_c)^\alpha}\]

onde \(\tau_c\) representa o centro de uma distribuição de constantes de relaxação de tempo, e \(\alpha\) representa a amplitude da distribuição. As suscetibilidades magnéticas dependentes de frequência para um modelo de Debye, com distribuição uniforme logarítmica e modelo Cole-Cole são comparadas na Figura 29.

Figura 29 Comparação entre susceptibilidade magnéticas dependente da frequência para um modelo de Debye (\(\chi_0=6\times 10^{-3}, \; \chi_\infty = 10^{-3}\)), uma distribuição uniforme logarítmica de constantes de tempo de relaxação (\(\chi_0=6\times 10^{-3}, \; \chi_\infty = 10^{-3}, \tau_1=10^{-5} \; s, \tau_2 =10^{-1} \, s\)), e um modelo Cole-Cole (\(\chi_0=6\times 10^{-3}, \; \chi_\infty = 10^{-3}, \tau_c = 10^{-3} \, s, \alpha = 0.5\)).